Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • La hipérbola 03

     

    Halla la ecuación reducida de una hipérbola en la que a = 8 y b = 4.

     

     

    Solución:

    Ecuación reducida de la hipérbola:

    HIPERBOLA 01, 1

    Haciendo las debidas sustituciones:

    HIPERBOLA 03

     

     

     


  • La hipérbola 02

     

    Halla los vértices, focos, asíntotas y excentricidad de la siguiente hipérbola. A continuación, represéntala aproximadamente:

    HIPERBOLA 02, 1

     

     

    Solución:

    Ecuación de la hipérbola en forma canónica:

    HIPERBOLA 01, 1

    Comparando ambas ecuaciones tenemos que:

    HIPERBOLA 02, 2

    HIPERBOLA 01, 2

    Para hallar el valor de c aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo de la figura:

    HIPERBOLA 02, 3

    Coordenadas de los vértices:

    A’(–4, 0), A(4, 0)

    B’(0, –3), B(0, 3)

    Coordenadas de los focos:

    F’(–5, 0), F(5, 0)

    Asíntotas:

    HIPERBOLA 02, 4

    Excentricidad:

    e = c/a = 5/4

     

    Representación gráfica:

    HIPERBOLA 02, 5

     

     


  • La hipérbola 01

     

    Halla la ecuación reducida de la hipérbola cuyo eje no transverso (2b) mide 2 cm. Y cuya distancia focal es de 6 cm.

     

     

    Solución:

    Ecuación reducida de la hipérbola:

    HIPERBOLA 01, 1

    HIPERBOLA 01, 2

    2b = 2 cm → b = 2 cm/2 = 1 cm

    2c = 6 cm → c = 6 cm/2 = 3 cm

    Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la figura:

    a2 + b2 = c2 → a2 = c2 – b2 → a2 = 32 – 12 = 8

    HIPERBOLA 01, 3

     

     

     


  • La elipse 09

     

    Dada la curva 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0 determinar si se trata de una cónica. En caso afirmativo decir de qué cónica se trata, y hallar todos sus elementos (centro, vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, excentricidad,…). En caso negativo decir qué figura geométrica (cónica degenerada) representa la ecuación.

     

     

    Solución:

    La gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es una sección cónica o una cónica degenerativa. Si la gráfica es una cónica entonces se trata de:

    1)  Una parábola si el discriminante B2 – 4AC = 0.

    2)  Una elipse si el discriminante B2 – 4AC < 0.

    3)  Una hipérbola si el discriminante B2 – 4AC > 0.

    Según la ecuación de la curva: 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0, tenemos que:

    A = 16, B = 0 y C = 9

    Como el discriminante 02 – 4·16·9 < 0, tenemos una elipse o una elipse degenerada.

    Agruparemos los términos:

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y)

    y2 – 4y = (y + p)2 + q

    y2 – 4y = y2 + 2 p y + p2 + q

    –4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

    p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0

    4 + q = 0 ⇒ q = –4

    y2 + 2y = (y + 1)2 – 1

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y) = 9·[(y – 2)2 – 4] = 9·(y – 2)2 – 36

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 16x2 + 9·(y – 2)2 – 36 – 108 = 0

    16x2 + 9·(y – 2)2 – 144 = 0

    16x2 + 9·(y – 2)2 = 144

    ELIPSE 09,1

    Se trata de una elipse de eje principal paralelo al OY.

    Elementos:

    ELIPSE 09,2

    Comparando con la ecuación de la elipse:

    ELIPSE 09,3

    tenemos que:

    Centro:

    (x0, y0) = (0, 2)

     Vértices:

    A(0 + x0, a + y0) = (0+0, 4 + 2) = (0, 6)

    A’(0 + x0, a’ + y0) = (0+0, –4 + 2) = (0, –2)

    B(b + x0, 0 + y0) = (3+0, 0 + 2) = (3, 2)

    B’(b’ + x0, 0 + y0) = (–3+0, 0 + 2) = (–3, 2)

    Focos:

    ELIPSE 09, 4

    Excentricidad:

    ELIPSE 09, 5

     

     


  • La elipse 08

     

    Demuestra que la elipse:

    ELIPSE 08, 1

    y la recta:

    ELIPSE 08, 2

    son tangentes.

     

     

    Solución:

    Si son tangentes deben tener un único punto de contacto, es decir, el sistema formado por ambas ecuaciones tiene solamente una solución.

    ELIPSE 08, 3

    Las coordenadas del punto de contacto son:

    ELIPSE 08, 4