La parábola 04

Halla el vértice, foco, eje y la directriz de la parábola de ecuación y² – 4y + 4x + 16 = 0.

Solución:

Ecuación de la parábola:

(y – b)² = –2p (x – a)

siendo (a, b) las coordenadas del vértice.

Con la ecuación de la parábola dada en el enunciado del haremos la siguiente transformación, con el fin de expresarla de la forma anterior:

y² – 4y = (y + p)² + q

y² – 4y = y² + 2 p y + p² + q

–4 = 2p → p = –4/2 = –2

p² + q = 0 → (–2)² + q = 0

4 + q = 0 → q = –4

y² – 4y = (y – 2)² – 4

Sustituyendo en la ecuación inicial:

(y – 2)² – 4 + 4x + 16 = 0

(y – 2)² + 4x + 12 = 0

(y – 2)² = –4x – 12

(y – 2)² = –4 (x + 3)

Comparando con la expresión inicial:

a = –3,         b = 2,          p = 2

Por tanto:

Coordenadas del vértice:

V(–3, 2)

Coordenadas del foco:

F(–3 – (p/2), 2) = (–4, 2)

Eje:

y = 2 (recta horizontal)

Directriz:

x = –3 + (p/2) → x = –2 (recta vertical)

La parábola 03

Halla la ecuación de una parábola cuyo foco es el punto (3, 2) y cuyo vértice es el punto (3, 5).

Solución:

Se trata de una parábola de eje vertical, cuyo vértice está por encima del foco y cuya ecuación es:

(x – a)² = –2p(y – b)

Siendo (a, b) las coordenadas del vértice.

p/2 = distancia (FV) = (5 – 2) = 3 → p = 6

Ecuación de la parábola:

 (x – 3)² = –12·(y – 5)

La parábola 02

Halla el foco, el vértice y la directriz de la parábola de ecuación: y² = 9x.

Solución:

Ecuación de la parábola: y² = 2px

Coordenadas del foco: F(p/2, 0)

Comparando la ecuación de la parábola con la dada en el enunciado del problema:

2p = 9 → p = 9/2 → F(9/4, 0)

Coordenadas del vértice:

x = 0, y = 0

V(0, 0)

Ecuación de la directriz: x = –p/2

x = –9/4

La parábola 01

Halla la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F(2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = –2.

Solución:

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta de ese plano llamada directriz.

Por tanto:

distancia (PF) = distancia (Pr)

Siendo: P(x, y), F(2, 0), r: x + 2 = 0

4 – 4x + x² + y² = x² + 4x + 4

y² = 8x

La hipérbola 04

Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por ejes de simetría los ejes de coordenadas y que pasa por los puntos P(2, 3) y Q(7, 12). Calcula las coordenadas de los vértices y de los focos y la excentricidad.

Solución:

Ecuación reducida de la hipérbola:

Sustituyendo las coordenadas de P y de Q en la anterior expresión:

P(2, 3) → (2²/a²) – (3²/b²) = 1

 (4/a²) – (9/b²) = 1 → 4 b² – 9 a² = a² b²

Q(7, 12) → (7²/a²) – (12²/b²) = 1

 (49/a²) – (144/b²) = 1 → 49 b² – 144 a² = a² b²

Como los segundos miembros de las ecuaciones obtenidas son iguales, tenemos que:

4 b² – 9 a² = 49 b² – 144 a²

 135 a² = 45 b² → b² = 3 a²

Sustituyendo en la primera ecuación se tiene:

4·(3 a²) – 9 a² = a²·(3 a²)

12 a² – 9 a² = 3 a⁴

3 a⁴ – 3 a² = 0 → a⁴ – a² = 0

(a² – 1)·a² = 0

Primera solución: a = 0

Segunda solución:

a² – 1 = 0 → a² = 1 → b² = 3

El valor a = 0 no sirve.

Ecuación de la hipérbola:

Coordenadas de los vértices:

Coordenadas de los focos:

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la figura:

a² + b² = c² → c² = 1 + 3 = 4

Excentricidad:

e = c/a = 2/1 = 2