Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos 03

     
    Si conoces que sen x = 3/5 y que tg x < 0, calcula el valor de cos x y de tg [(π/2) – x]
     
    Solución:
     
    Para hallar cos x, utilizaremos la ecuación fundamental de la Trigonometría.
     
     
    Como el seno del ángulo es positivo y la tangente es negativa, el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, luego el coseno es negativo. O bien, como la tangente es igual al seno partido por el coseno, si el seno es positivo y la tangente es negativa, el coseno también ha de ser negativo.
     
     
    Ahora resolveremos tg [(π/2) – x]:
     

  • Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos 02

     
    Sabiendo que sen α = 4/5 y que tg β = 3/4 y que siendo: 90º < α < 180º < β < 270º, calcula:
     
    sen (α + β)
     
    Solución:
     
    Seno de la suma de ángulos:
     
    sen (α + β) = sen α · cos β + sen β · cos α
     
    Sustituyendo en la anterior ecuación sen α por su valor, tenemos que:
     
    sen (α + β) = (4/5) · cos β + sen β · cos α
     
    Ahora nos falta saber los valores de: cos β, sen β y cos α, para lo cual utilizaremos la ecuación fundamental de la Trigonometría.
     
     
     
  • Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos 01

     
    Si α es un ángulo del cuarto cuadrante cuyo coseno vale 3/5, calcula el valor de cos (α + 30º).
     
    Solución:
     
    Coseno de la suma de ángulos:
     
    cos (α + β) = cos α · cos β – sen α · sen β
     
    En este problema: β = 30º, por tanto:
     
     
    Falta saber el valor del seno de α, para ello utilizamos la ecuación fundamental de la Trigonometría.
     

     

  • Ecuaciones trigonométricas 04

     
    Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
     
    a)      sen 3x = – 1
     
    b)      2 cos x = 3 tg x
     
    c)      2 cos2 x = 2 – sen x
     
    d)      tg x + 3 ctg x = 4
     
    e)      3 sec x – 4 = 4 cos x
     
    Solución:
     
    a)      sen 3x = – 1
    sen 3x = – 1 → 3x = arc sen (– 1) = 270º + 360 º k
     
     
    b)      2 cos x = 3 tg x
     
    2 cos x = 3 (sen x / cos x) → 2 cos x · cos x = 3 sen x → 2 cos2 x = 3 sen x
     
    2 (1 – sen2 x) = 3 sen x → 2 – 2 sen2 x = 3 sen x → –2 sen2 x – 3 sen x + 2 = 0
     
     2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0
     
    Haciendo sen x = t, se obtiene la siguiente ecuación:
     
    2 t2 + 3 t – 2 = 0
     
     
    La solución t = - 2 no es valida, porque daría: sen x = – 2 y el seno de un ángulo nunca puede ser menor que –1.
     
     
    Hay dos soluciones porque el seno de los ángulos del primer cuadrante y el seno de los ángulos del segundo cuadrante son iguales.
     
    c)      2 cos2 x = 2 – sen x
     
    2 cos2 x = 2 – sen x → 2 (1 – sen2 x) = 2 – sen x → 2 – 2 sen2 x = 2 – sen x
     
      2 sen2 x + sen x = 0 → sen x (– 2 sen x + 1) = 0
     
    De la última ecuación se obtienen dos soluciones:
     
     sen x = 0 y – 2 sen x + 1 = 0 → – 2 sen x = – 1 → sen x = 1/2
     
    De la primer solución se obtiene:
     
     
    Estos dos resultados se pueden englobar en uno: x = 180º k
     
    De la segunda solución:
     
     
    Los dos resultados son debidos a que el seno de los ángulos del primer cuadrante y seno de los ángulos del segundo cuadrante son iguales.
     
    d)      tg x + 3 ctg x = 4
     
    tg x + 3 ctg x = 4 → tg x + 3 (1 / tg x) = 4 → tg2 x + 3 = 4 tg x
     
    tg2 x – 4 tg x + 3 = 0  
     
    Ahora se hace tg x = t y se obtiene la siguiente ecuación:
     
    t2 – 4 t +3 = 0
     
     
    Deshaciendo el cambio:
     
     
    e)      3 sec x – 4 = 4 cos x
     
    3 sec x – 4 = 4 cos x → 3 (1 / cos x) – 4 = 4 cos x
     
    Multiplicando todos los términos de la última ecuación por cos x, se obtiene:
     
    3 – 4 cos x = 4 cos2 x → 4 cos2 x + 4 cos x – 3 = 0
     
    Haciendo el cambio: cos x = t, tenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
     
    4 t2 + 4 t – 3 = 0
     
    cuya solución es:
     
     
    La solución t = -3/2 no es valida, porque resultaría que el coseno del ángulo es menor que menos uno, cosa que nunca puede ser.
     
    El seno y el coseno de un ángulo nunca pueden ser mayores que 1 ni menores que –1.
     
     
    Hay dos soluciones porque el coseno de los ángulos del primer cuadrante y el coseno de los ángulos del cuarto cuadrante son iguales.

     

     

  • Ecuaciones trigonométricas 03

     
    Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

     

    Solución:
     
    a)      tg x = 5 sen x 

     

    En este último caso tenemos dos soluciones, pues los cosenos de los ángulos del primer y cuarto cuadrante son iguales, según podemos observar en la siguiente figura:.

     

    b)  2 cos x = sec x

     
    En este caso tenemos cuatro soluciones (según la siguiente figura). Dos cuando la raíz es positiva (primer y cuarto cuadrante) y otras dos cuando la raíz es negativa (segundo y tercer cuadrante), todo lo cual se cumple cada giro de 90º, por tanto:
     

     

    Para el último caso tenemos dos soluciones, ya que los senos de los ángulos del primer y segundo cuadrante son iguales,según la siguiente figura:
     
     
    luego: