Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teoremas de Pitágoras, de los catetos y de la altura 03

     

    En el siguiente triángulo rectángulo, calcula los datos indicados con letras.

     

     

     

    Solución:

     

     

    Primero hallaremos la proyección del cateto b sobre la hipotenusa c.
     
    c = m + n → 12 = m + 4 → m = 8

     

    Para hallar h utilizaremos el teorema de la altura.

     

     

    Para hallar el valor de a utilizaremos el teorema de los catetos.

     

     
    También podíamos haber utilizado el teorema de Pitágoras, en el triángulo más pequeño, es decir:

     

     

     

     

  • Teoremas de Pitágoras, de los catetos y de la altura 02

     
    En un triángulo rectángulo ABC las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos.
     
    Solución:
     
     
    Valor de la hipotenusa:
     
    c = m + n = 25 + 16 = 41 cm
     
    Para hallar h utilizaremos el teorema de la altura.
     
     

    Para hallar el valor de a utilizaremos el teorema de los catetos:

      

      

    También podíamos haber utilizado el teorema de Pitágoras, en el triángulo más pequeño, es decir:
     
     
    Aplicando cualquiera de los dos teoremas se puede hallar el cateto b:
     
     
     
     
  • Razón de semejanza 03

     
    Los siguientes triángulos tienen sus lados paralelos. ¿Cuánto miden los lados x e y? ¿Por qué?
     
     
    Solución:
     
    Al tener los lados paralelos sus respectivos ángulos son iguales, luego los triángulos son semejantes.
     
    Razón de semejanza:
     
     
     
     
     
     
  • Teoremas de Pitágoras, de los catetos y de la altura 01

     

    En el siguiente triángulo rectángulo, calcula los datos indicados con letras.

     

     

     

    Solución:

    Para resolver este tipo de problemas las fórmulas que se pueden utilizar son, de acuerdo con el siguiente triángulo:

     

     

    Teorema de Pitágoras:
     
    c2 = a2 + b2
     

     

    Teorema de los catetos:
     
     

    b2 = m c            y            a2 = n c

    Teorema de la altura:
    h2 = m n
     
    y, por último, debemos tener en cuenta que: c = m + n.

     

     

    Para hallar el valor de m podemos utilizar las siguientes fórmulas:
     
    b2 = m c            o            h2 = m n

     

    pero como no conocemos el valor de n tendremos que usar la primera, es decir, el teorema de los catetos.

     

    Ahora se puede hallar n:
     
    24 = 6 + n → n = 24 – 6 = 18
     
    Para averiguar h utilizaremos el teorema de la altura ya que sabemos el valor de m y n.
     
     
    Para hallar el valor de a utilizaremos el teorema de los catetos.
     
     
    También podíamos haber utilizado el teorema de Pitágoras, en el triángulo más pequeño, es decir:
     
     
     
     
  • Razón de semejanza 02

     
    Si la razón de semejanza entre las áreas de dos triángulos equiláteros es 1/9, ¿cuánto mide el lado del mayor, si el perímetro del menor es 12 cm?
     
    Solución:
     
    Datos: A’/A = 1/9; P’= 12 cm, siendo A el área del triángulo mayor, A’ el área del triángulo menor y P’ el perímetro del triángulo menor, por tanto:
     
     
    La razón de semejanza de los perímetros es: P’/P = k, luego:
     
     
    pero: P = 3 L, siendo L el lado del triángulo mayor, por lo tanto:
     
     
    El lado del triángulo mayor mide 12 cm.