Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Cilindro. Área y volumen 02

     

    Se enrolla un alambre de 0,75 cm de diámetro en un carrete de radio 30 cm y altura 24 cm, cuál es la longitud del alambre.

     

    Solución:

     

    Datos: D = 0,75 cm; R = 30 cm; h = 24 cm

     

     

    Si cortamos lateralmente el carrete y lo extendemos, su superficie lateral tendrá la forma de un rectángulo, cuya base será la longitud de una circunferencia de radio R y de altura igual a del carrete.

     

     

    Cada vuelta completa del alambre tendrá la misma longitud que la base del rectángulo y cubrirá en el carrete, una altura igual al diámetro del alambre.

     

    Según la figura anterior, la longitud de una de las vueltas del alambre será igual a la longitud de la base de la superficie lateral del carrete, es decir de la circunferencia de radio R, por tanto:

     

    L1 = 2 π R

     

    Ahora nos falta saber el número de vueltas que se necesitan para cubrir todo el carrete, que será:

     

    N (número de vueltas) = h / D

     

    Por tanto, la longitud total del cable será:

     

    L = 2 π R N = 2 π R (h / D)

     

    L = 2 π · 30 cm · (24 cm / 0,75 cm) = 6031,86 cm

     

    El alambre tendrá una longitud de 6032 cm, aproximadamente.

     

     

  • Resolución de triángulos cualesquiera. Aplicaciones 03

     
    Un submarino desciende al fondo del mar con una inclinación de 35º. Cuando llega al fondo, después de hacer un trabajo, asciende a la superficie con un ángulo de 45º. Cuando ha emergido se comprueba que se ha desplazado 200 metros desde le punto de salida. Calcular la profundidad en la que estuvo trabajando el submarino.
     
     
    Solución:
     

     

    Podemos hallar la profundidad (h) en la que estuvo trabajando el submarino, utilizando el seno de 45º, pero para ello, necesitamos saber el valor de x.

    Los ángulos α y 45º son iguales por tener sus lados paralelos, por tanto:

    β = 180º – (35º + α) = 180º – 80º = 100º
     
    Ahora, utilizaremos el teorema de los senos, para hallar la longitud de x.
     
     
    El submarino estuvo trabajando a una profundidad de 82,4 metros.
     

     

     

  • Resolución de triángulos cualesquiera. Aplicaciones 02

     
    Un barco situado en un punto A detecta mediante su radar otros dos barcos B y C distantes de él 6 y 8 millas respectivamente, de modo que el ángulo BAC es igual a 75º. Si el radar del barco B tiene un alcance máximo de 9 millas, ¿habrá localizado al barco C?
     
     
    Solución:
     

     

    Datos: c = 6 millas; b = 8 millas; A = 75º
     
    Como conocemos la longitud de dos de los lados que forman el triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, utilizaremos teorema de los cosenos para saber la distancia que existe entre los barcos situado en B y C.
     
    Por el teorema de los cosenos tenemos:
     

     

    Como la distancia entre los barcos situados en B y C (a = 8,67 millas) es menor que el alcance del radar del barco que se encuentra en B ( 9 millas), sí le habrá localizado.

     

     

  • Resolución de triángulos cualesquiera. Aplicaciones 01

     
    Un jugador de fútbol ve la portería bajo un ángulo de 60º cuando se encuentra a una distancia de 5 metros y 8 metros de los postes. Calcula la anchura de la portería.
     
     
    Solución:
     

     

    Como conocemos la longitud de dos de los lados que forman el triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, utilizaremos teorema de los cosenos para saber la anchura de la portería (a):

     

     

    La portería tiene 7 metros de anchura.
     
     
     
  • Resolución de triángulos cualesquiera 02

     
    a)   Resuelve el triángulo cuyos lados miden a = 4 cm, b = 5 cm y c = 6 cm.
     
    b)      Calcula su área.
     
     
    Solución:
     
    Datos: a = 4 cm, b = 5 cm y c = 6 cm
     
    a)  Como ya se dijo en un problema anterior, resolver un triángulo es hallar la longitud de sus lados y el tamaño de sus ángulos.
     
    En este caso ya conocemos la primera parte, es decir, los lados y nos falta saber el valor de sus ángulos. Para hallar uno de ellos, utilizaremos el teorema de los cosenos.  

     

     a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

     
    42 = 52 + 62 – 2 · 5 · 6 · cos A
     
    16 = 25 + 36 – 60 cos A
     
    60 cos A = 25 + 36 – 16

    60 cos A = 45

    cos A = 45 / 60 → A = arc cos (45/60) = 41,4º
     
    Ahora, para hallar otro de los ángulos utilizaremos el teorema de los senos:
     

     Para hallar el valor del último ángulo, debemos recordar que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Por tanto:

     
    C = 180º – (41,4º + 55,8º) = 82,8º 
     

    b)  Área del triángulo:

     

    Ar = c · h / 2
     
    Para poder hallar el área nos falta saber el valor de la altura (h).
     

     

    sen B = h / a → h = a · sen B
     
    h = 4 · 0,8266 = 3,3 cm
     
    Ar = 6 · 3,3 / 2 = 9,9 cm2