Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Combinaciones ordinarias 03

     

    Cómo se pueden elegir 4 novelas de un estante en el que hay 7 novelas policíacas y 5 de ciencia ficción, si:

     

    a)      Pueden ser de cualquier tema.

     

    b)      Deben ser dos policíacas y dos de ciencia ficción.

     

    c)      Las cuatro son del mismo tema.

     

    d)      Al menos una debe ser policíaca.

     

     

     

    Solución:

     

    Para averiguar si se trata de variaciones, permutaciones, etc, debemos hacer las siguientes preguntas:

     

    1ª ¿Afecta el orden?

     

    No, ya que, por ejemplo, el grupo formado por las novelas P1P2C1P3, será el mismo que el formado por C1P3P2P1, ya que son las mismas novelas.

     

    Por tanto se trata de combinaciones. 

     

    2ª ¿Se pueden repetir los elementos?

     

    No, pues las novelas escogidas han de ser distintas, pues una misma novela no puede estar al mismo tiempo dos veces en el mismo grupo.

     

    Conclusión: Se trata de combinaciones ordinarias.

     

     

     

    a)      Debemos tomar 4 novelas de un total de doce, por tanto:

     

     

    Se pueden elegir de 495 formas diferentes.

     

    b)      En este caso han de ser 2 novelas de cada clase.

     

    Formas de escoger 2 novelas policíacas de un total de 7:

     

     

     

    Formas de escoger 2 novelas de ciencia ficción de un total de 5:

     

     

    Como cada uno de los 21 subgrupos del primer tipo puede completarse con cualquiera de los 10 del segundo tipo, el número total será:

     

    21·10 = 210

     

    Se pueden elegir de 210 formas diferentes.

     

    c)      Ahora las cuatro han de ser del mismo tema.

     

    Formas de escoger 4 novelas policíacas de un total de 7:

     

     

     

    Formas de escoger 4 novelas de ciencia ficción de un total de 5:

     

     

    En este caso no se pueden completar un grupo con el otro, pues las cuatro novelas deben ser del mismo tema, por tanto el número total será:

     

    35 + 5 = 40

     

    Se pueden elegir de 40 formas diferentes.

     

    d)      Al menos una, quiere decir una como mínimo, por tanto veremos en cuantos casos no entra ninguna novela policíaca y el resultado se lo restaremos al total de las diferentes formas que se pueden hacer con todas las novelas.

     

    Según el apartado anterior hay 5 formas de escoger 4 novelas que no son policíacas, es decir, que únicamente son de ciencia ficción, y como en total se pueden escoger 495 (apartado a)), se pueden elegir 490 (495 – 5) formas diferentes en las que al menos hay una novela policíaca.

     

       

     

     

  • Permutaciones ordinarias 03

    Con las cifras 5, 7, 2, 3, 6, 4 y 9, ¿cuántos números de siete cifras distintas se pueden escribir si en el centro debe quedar un múltiplo de 3?
     
    Solución:
     
    Para averiguar si se trata de variaciones, permutaciones, etc, debemos hacer las siguientes preguntas:
     
    1ª ¿Afecta el orden?
     
    Sí, ya que, por ejemplo, 5723649 es diferente de 9643275.
     
    Por tanto puede tratarse de variaciones o permutaciones.
     
    2ª ¿Intervienen todos los elementos en todos los grupos que se pueden formar?
     
    Si, ya que según el enunciado del problema las siete cifras siempre se utilizan en cada uno de los números.
     
    Luego se trata de permutaciones.
     
    3ª ¿Se pueden repetir los elementos?
     
    No, pues según el enunciado del problema las cifras deben ser distintas. 
     
    Conclusión: Se trata de permutaciones ordinarias de siete elementos, pero en el centro debe haber un múltiplo de 3.
     
    De las cifras dadas, los múltiplos de 3 son: 3, 6 y 9, por tanto estas cifras quedarán fijas en el centro del número y no se podrán tomar otra vez, ya que los números hallados deben tener sus cifras diferentes.
     
     
    Se pueden escribir 2160 números.
     
  • Operaciones con variaciones, permutaciones y combinaciones 03

    Sabiendo que:
     
     
    calcula:
     
     
     
    Solución:
     
    Según la propiedad:
     
     
    tenemos que:
     
     
    luego:
     
     
     
  • Operaciones con variaciones, permutaciones y combinaciones 02

    Resolver la ecuación:
     
     
    Solución:
    Teniendo en cuanta la siguiente propiedad de los números combinatorios:
     
     
    tenemos que:
     
     
     
  • Operaciones con variaciones, permutaciones y combinaciones 01

    Hallar: 2 · Vx,3 = 3x – Cx,2
     
    Solución:
     
     
    Como el resultado no es un número natural, la ecuación no tiene solución.