Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Progresiones geométricas. Problemas 03

     

    Una paloma ha sido herida en un ala cuando se encontraba a 256 metros de su nido. Comienza a volar en línea recta hacia el nido. Realiza el primer vuelo de 128 metros, pero, debido a su herida, tiene que detenerse y volver a iniciar el vuelo nuevamente. Cada vuelo es la mitad del anterior.
     
    a)      ¿Cuál es la longitud del décimo vuelo?
     
    b)      ¿En qué vuelo la paloma habrá recorrido 4 metros?
     
    c)      ¿Crees que llegará al nido?. Explícalo.
     
     
     
    Solución:
     
    Recorrido de la paloma: 128, 128/2 = 64, 32,….
     
    Se trata de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 = 128 y de razón r = 1/2.
     
    a)      El décimo vuelo es igual al valor de a10, luego:
     
    an = a1 · rn – 1  
     
     
     
    b)      Queremos sabe qué término es igual a 4, por tanto:
     
     
    n – 1 = 5 → n = 6
     
    En el sexto vuelo la paloma recorre 4 metros.
     
    c)      Teóricamente no, porque siempre habrá una mitad del camino que recorrer, o sea, que para llegar al nido deberá hacer infinitos vuelos. Pero como la progresión tiene infinitos términos y su razón es menor que uno:
     
     
    Luego, realmente sí llegará al nido.
     
     
     
     

     

  • Progresiones geométricas. Problemas 02

    Se ingresa en un banco un capital de 100000 euros al 10% de interés compuesto durante 6 años. ¿En qué se convertirá?

     
    Solución:
     
    Veamos en qué se ha convertido el dinero depositado en el banco al final de cada uno de los años:
     
    Al finalizar el primer año habrá el capital inicial más los intereses.
     
     
    Al finalizar el segundo año tendremos el capital que había al finalizar el primer año, más los intereses producidos al acabar el segundo año.
     
     
    Al finalizar el tercer año tendremos el capital que había al finalizar el segundo año, más los intereses producidos al acabar el tercer año.
     
     
    Si nos fijamos en los resultado que hemos obtenido, se trata de una progresión geométrica cuyo primer términos es a1 = 100000·1,1; de razón r = 1,1 y el número de términos es n = 6; por tanto el valor del sexto término es en lo que se habrá convertido el capital depositado en el banco.
     
    an = a1 · rn – 1  
     
    a6 = (100000·1,1) · 1,15 = 100000 · 1,16 = 177156,10 euros
     
     
     
      
     
  • Progresiones geométricas. Problemas 01

     

    En un cuadrado de 2 metros de lado se inscribe otro uniendo los puntos medios de los lados consecutivos; en éste se inscribe otro de igual forma y así indefinidamente. ¿Cuánto vale el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así obtenidos?

     
     
    Solución:
     
     
    Lado del primer cuadrado: L1 = 2 m.
     
    Lado del segundo cuadrado (por el teorema de Pitágoras):
     
     
    Lado del tercer cuadrado (volviendo a aplicar el teorema de Pitágoras): 
     

     

    Siguiendo el proceso podríamos continuar indefinidamente. 

    Ahora podemos ver como varían las áreas de los cuadrados, teniendo en cuenta que el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado.
     
     
    y así sucesivamente.
     
    Podemos observar que el valor de las áreas son los términos de una progresión geométrica de razón ½ (cada término es la mitad que el anterior), luego estamos en el caso de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con |r | < 1.
     
     
     

     

  • Progresiones geométricas 04

     

    Suponiendo que numerador y denominador tienen infinitos términos, calcular el valor de la fracción:
     
     
    Solución:
     
    El numerador de la fracción es una progresión geométrica de infinitos términos cuyo primer término es ½ y razón:
     
     
    La suma de los infinitos términos del numerador es:
     
     
    El denominador de la fracción es una progresión geométrica de infinitos términos cuyo primer término es 1/3 y razón:
     
     
    La suma de los infinitos términos del numerador es:
     
    Por tanto el valor de la fracción es:
     
     
  • Progresiones geométricas 03

     

    Calcular el producto de:
     
    a)      Los seis primeros términos de 2, 6, 18, . . . .
     
    b)      Los cuatro primeros términos de 1/3, 1/6, 1/12, . . .
     
     
    Solución:
     
    Producto de los n términos de una progresión geométrica:
     
     
    a)      De acuerdo con la anterior expresión, para poder calcular el producto de los seis primeros términos de la progresión geométrica dada, necesitamos saber cuánto vale el sexto término para lo cual debemos averiguar el valor de la razón.
     
    6 = 2 · r2–1 → r = 6/2 → r = 3
     
    a6 = 2 · 36–1 = 486
     
     
    b)      Se trata de una progresión geométrica de razón: