El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 06

    Posted on mayo 25th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean los sucesos A = {una determinada persona A resuelve un determinado problema}  y B = {lo resuelve B}. Se sabe que la probabilidad de que lo resuelvan las dos personas es de 1/6; y, la de que no lo resuelva ninguna de las dos es de 1/3. Sabiendo que la probabilidad de que lo solucione una persona es independiente de que lo resuelva la otra, calcula P(A) y P(B).

     

     

    Solución:

    Datos: P(AB) = 1/6; P(A’B’) = 1/3

    Si P(A) = x, P(B) = y, y como ambos sucesos son independientes, tenemos que:

    P(AB) = P(A)·P(B)

    luego:

     x·y = 1/6

    Por otra parte se tiene que:

    P(A’B’) =  P (AUB)’ = 1 – P(AUB) = 1/3

    P(AUB) = 1 – (1/3) = 2/3

    Pero:

    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB) = x + y – (1/6)

    x + y – (1/6) = 2/3 → x + y = (2/3) + (1/6)

    x + y = 5/6

    Por tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    x·y = 1/6

    x + y = 5/6

    x = (5/6) – y → [(5/6) – y]·y = 1/6

     (5y/6) – y2 = 1/6 → 5y – 6y2 = 1

    6y2 – 5y + 1 = 0

    SUCESOS DEP Y SUC INDP 06

    Primera solución:

    y = 1/2 → x = (5/6) – (1/2) = 1/3

    P(A) = 1/3, P(B) = 1/2

    Segunda solución:

    y = 1/3 → x = (5/6) – (1/3) = 1/2

    P(A) = 1/2, P(B) = 1/3

     

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 05

    Posted on mayo 22nd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sea el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española de 40 cartas. Los sucesos M = {extraer oros} y N = {extraer figura}, ¿son independientes? Razona la respuesta.

     

     

    Solución:

    Para que ambos sucesos sean  independientes se debe cumplir que:

    P(M) = P(M/N)

     La baraja posee doce figuras, tres de las cuales son oros, luego:

    P(M) = 10/40 = 1/4

    P(M/N) = P(MN)/P(N) = 3/12 = 1/4

    Como P(M) = P(M/N), los experimentos son independientes.

    También, se puede saber que M y N son independientes si se verifica la siguiente igualdad:

    P(MN) = P(M)·P(N)

    P(MN) = 3/40

    P(M)·P(N) = (10/40)·(12/40) = 120/1600 = 3/40

     

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 04

    Posted on mayo 18th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Halla la probabilidad de que al extraer dos bolas de una bolsa, donde hay tres bolas blancas y dos negras, sean de este último color si:

    a)  Si la bola extraída no se devuelve a la bolsa.

    b)  Si la bola extraída se devuelve a la bolsa.

     

     

    Solución:

    Datos: Bolas blancas = 3. Bolas negras = 2. Total de bolas = 5

    a)  Como la bola extraída no se devuelve a la bolsa, las condiciones de la segunda extracción es distinta pues la composición de la bolsa no es la misma (una bola menos), y su resultado se ve afectado por cuál es el elemento del primer suceso, luego los sucesos son dependientes.

    Aplicando el principio de la probabilidad compuesta:

    P(N1N2) = P(N1)·P(N2/N1) = (2/5)·(1/4) = 2/20 = 1/10

    b)  En este caso la composición de la bolsa no se ve alterado por la primera extracción ya  que la bola se devuelve a la bolsa, luego los sucesos son independientes.

    P(N1N2) = P(N1)·P(N2) = (2/5)·(2/5) = 4/25

     

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 03

    Posted on mayo 15th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Halla la probabilidad de que al extraer dos cartas, sucesivamente, de una baraja de 40 cartas las dos sean copas:

    a)  Si la carta extraída no se devuelve a la baraja.

    b)  Si la carta extraída se devuelve a la baraja.

     

     

    Solución:

    Número de copas = 10;      Número de cartas = 40

    a)  Como la carta extraída no se devuelve a la baraja, las condiciones de la segunda extracción es distinta pues la composición de la baraja no es la misma (una carta menos), y su resultado se ve afectado por cuál es el elemento del primer suceso, luego los sucesos son dependientes.

    Aplicando el principio de la probabilidad compuesta:

    P(C1C2) = P(C1)·P(C2/C1) = (10/40)·(9/39) = (1/4)·(3/13) = 3/52

    b)  En este caso la composición de la baraja no se ve alterado por la primera extracción ya  que la carta se devuelve a la baraja, luego los sucesos son independientes.

    P(C1C2) = P(C1)·P(C2) = (10/40)·(10/40) = (1/4)·(1/4) = 1/16

     

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 02

    Posted on mayo 11th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean M y N dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que: P(M) = 0,7; P(N) = 0,6 y P(M’UN’) = 0,58.

    a)  ¿Son M y N independientes?

    b)  Si Q M, ¿cuál es el valor de P(Q’/M)?

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 0,7; P(N) = 0,6; P(M’UN’) = 0,58

    a)  Para saber si M y N son independiente debemos averiguar si se verifica la siguiente igualdad:

    P(MN) = P(M)·P(N)

    P(M’UN’) = P(MN)’ = 1 – P(MN)

    0,58 = 1 – P(MN) → P(MN) = 1 – 0,58 = 0,42

    P(M)·P(N) = 0,7·0,6 = 0,42

    Luego M y N son independientes, ya que P(MN) = P(M)·P(N) = 0,42

    b)  Si Q  M se verifica que M’ Q’, luego, P(Q’M’) = P(M’) ya que como M’ Q’ la intersección de ambos conjuntos resultará el menor de ellos, por tanto:

    P(Q’/M’) = P(Q’M’)/P(M’) = P(M’)/ P(M’) = 1