El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Distribución binomial. Aplicaciones 04

    Posted on febrero 22nd, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    En una distribución binomial B(7; 0,4) halla:

    a)  P(X = 0)

    b)  P(X > 0)

    c)  P(X = 2)

    d)  P(X > 3)

    e)  P(X = 5)

    f)  P(X < 5)

     

     

    Solución:

    Sea la distribución binomial B(n, p):

    En este caso trata de una distribución binomial de parámetros n = 7 y p = 0,4.

    Como p + q = 1:

    q = 1 – p = 1 – 0,4 = 0,6

    a)     

    b)     

    P(X > 0) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,028 = 0,972

    c)      

    d)     

    e)     

    f)    

     

     

     

  • Distribución binomial. Aplicaciones 03

    Posted on febrero 19th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Considera una urna con cinco bolas blancas y tres negras. Si se extrae, con devolución, una bola diez veces, ¿es un experimento de Bernouilli? ¿Por qué? ¿Y si las extracciones se efectúan sin devolución?

     

     

    Solución:

    En el caso de las extracciones con devolución sí se trata de un experimento de Bernouilli, porque en cada extracción son posibles solamente dos sucesos incompatibles, bola blanca o bola negra y el resultado de una extracción es independiente de los resultados anteriores, siendo la probabilidad de un suceso elemental siempre la misma.

    En el caso de extracciones sin devolución ya no es un experimento de Bernouilli, porque el resultado de una extracción depende del resultado anterior ya que en la urna ya no queda el mismo número de bolas y, por tanto, la probabilidad de un suceso elemental no es siempre la misma.

     

     

     

  • Distribución binomial. Aplicaciones 02

    Posted on febrero 15th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    En los siguientes ejemplos expresa, razonadamente, si se trata de una distribución binomial:

    a)  El lanzamiento de una moneda al aire diez veces.

    b)  Los descendientes de una determinada pareja.

    c)   Una máquina que produce determinadas piezas con una probabilidad de 0,001 de fabricar una defectuosa.

     

     

    Solución:

    Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución binomial o de Bernouilli si se verifica:

      En cada realización del experimento únicamente son posibles dos sucesos A y A’.

    2º El resultado obtenido en cada realización es independiente de los obtenidos anteriormente.

    3º La probabilidad del resultado A, y por tanto la de A’, no varía a lo largo del experimento.

    4º Si llamamos p a la probabilidad de que se verifique el resultado A y q a la de que se verifique el resultado A’, p + q =1.

    a)  Es una distribución binomial de diez pruebas, dado que:

    En cada lanzamiento son posibles solamente dos sucesos: A = (Cara) y A’ = (Cruz)

    El resultado de un lanzamiento es independiente de los resultados anteriores.

    La probabilidad de que salga cara, P(A) = 1/2 y la que salga cruz P(A’) = 1/2, luego:

    (1/2) + (1/2) =1

    b)  Es una distribución binomial, ya que:

    En cada nacimiento son posibles dos sucesos: A = (Varón), A’ = (Hembra).

    El resultado de un parto es independiente de los resultados anteriores.

    Si suponemos que la probabilidad de nacimiento de varones es igual a la de hembras, se tiene que P(A) = 1/2 y P(A’) = 1/2, luego:

    (1/2) + (1/2) =1

    c)  Las piezas que produce la máquina en un tiempo determinado constituye una distribución binomial, pues:

    Una pieza puede resultar defectuosa (A) o no defectuosa (A’)

    La probabilidad P(A) = 0,001 y la de P(A’) = 0,999, luego:

    0,001 + 0,999 = 1

     

     

     

  • Distribución binomial. Aplicaciones 01

    Posted on febrero 12th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    En cada una de las siguientes distribuciones indica si se trata de una binomial. En caso afirmativo identifica los valores de n, p y los qué puede tomar la variable x. En caso negativo cita el motivo.

    a)  Lanzamos diez monedas y nos preguntamos por el número  de cruces.

    b)  Lanzamos seis dados correctos y nos preguntamos por el número de "cuatros".

    c)  Dejamos caer al suelo cien chinchetas y contamos cuántas caen con la punta hacia arriba.

    d)  Extraemos cinco cartas de una baraja y nos preguntamos cuántos reyes habrá.

    e)  Extraemos una carta de una baraja, observamos si es o no figura y la devolvemos al mazo. Barajamos y volvemos a extraer. Repetimos cinco veces la experiencia. Es decir, extraemos cinco cartas con reemplazamiento.

    f)   Nos preguntamos cuántos partidos ganará cierto equipo de baloncesto en sus próximos diez encuentros.

    g)  Una máquina produce tornillos y, por término medio, un 2% son defectuoso. Se empaquetan en cajas de cien tornillos. Cogemos una caja y nos preguntamos cuántos tornillos defectuosos habrá.

     

     

    Solución:

    Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución binomial o de Bernouilli si se verifica:

    1º  En cada realización del experimento únicamente son posibles dos sucesos A y A’.

    2º El resultado obtenido en cada realización es independiente de los obtenidos anteriormente.

    3º La probabilidad del resultado A, y por tanto la de A’, no varía a lo largo del experimento.

    4º Si llamamos p a la probabilidad de que se verifique el resultado A y q a la de que se verifique el resultado A’, p + q =1.

    a)  Suponiendo que las diez monedas con correctas, se trata de una distribución binomial con:

    n = 10 y p = 0,5 Þ B (10; 0,5).

    Los valores que puede tomar la variable x son:

    x = 0, 1, 2, . . ., 10

    (Los valores, en general, de x son: 0, 1, 2, 3, . . . ., n).

    b)  Es una distribución binomial con n = 6, p = 1/6 Þ B (6, 1/6).

    x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

    c)  Si las chinchetas son del mismo tipo, sí es una binomial con n = 100 y p = P {"caer con la punta hacia arriba"}.

    Si suponemos que  P (p) = 0,3; tenemos B (100; 0,3).

    x = 0, 1, 2, . . ., 100

    d)  No es una distribución binomial, pues cada vez que se extrae una carta, cambia la composición del mazo y se modifica la probabilidad de rey en la siguiente extracción. Es decir, las cinco pruebas sucesivas no son idénticas.

    e)  Sí es una distribución binomial: n = 5, p = 0,4 Þ B (5; 0,4).

    x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

    f)   No es una binomial, pues la probabilidad de vencer en un encuentro es distinta que las de vencer en otros. Es decir, las diez experiencias no son idénticas.

    g)  Es una distribución binomial con n = 100 y p = 0,02 Þ B (100; 0,02).

    x = 0, 1, 2, . . ., 100

     

     

  • Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 07

    Posted on febrero 8th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Compara la media de las distribuciones binomiales B(200; 0,06) y B(30; 0,4). ¿Cuál de ellas tiene mayor dispersión?

     

     

    Solución:

    Tendrá mayor dispersión la que tenga mayor coeficiente de variación.

    Coeficiente de variación:

    C. V. = σ/μ

    Para B(200; 0,06):

    n = 200                  p = 0,06                 q = 1 – p = 1 – 0,06 = 0,94

    Media (μ):

    μ = n·p = 200·0,06 = 12

    Desviación típica (σ):

    C. V. = 3,36/12 = 0,28

    Para B(30; 0,4):

    n = 30          p = 0,4                  q = 1 – p = 1 – 0,4 = 0,6

    Media (μ):

    μ = n·p = 30·0,4 = 12

    Desviación típica (σ):

    C. V. = 2,68/12 = 0,22

    La primera distribución tiene mayor dispersión.