El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 05

    Posted on noviembre 15th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Calcula la moda, mediana, media, desviación media, rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación de la siguiente tabla:

    xi

    fi

    0

    13

    1

    14

    2

    14

    3

    7

    4

    2

     

     

     

    Solución:

    Moda (Mo) es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta (fi).

    Mediana (Me):

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Me ≥ Fi/2

    Media (M):

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación media (DM):

    DM = Σ|xi – M|/Σfi

    Rango o recorrido:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/Σfi) – M2

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación (C. V):

    C. V = σ/M

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas que se deben hallar, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0

    13

    13

    0

    0

    1,42

    1

    14

    27

    14

    14

    0,42

    2

    14

    41

    28

    56

    0,58

    3

    7

    48

    21

    63

    1,58

    4

    2

    50

    8

    32

    2,58

     

    50

     

    71

    165

    6,58

     

    Moda:

    M0 = {1, 2} (es una distribuación bimodal)

    Mediana:

    Fi ≥ 50/2 = 25 → 27 ≥ 25, luego: Me = 1

    Media:

    M = 71/50 = 1,42

    Desviación media:

    DM = 6,58/50 = 0,1316

    Rango:

    4 – 0 = 4

    Varianza:

    σ2 = (165/50) – 1,422 = 1,2836

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación:

    C. V. = 1,133/1,42 = 0,8 → 80%

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 04

    Posted on noviembre 12th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Haz el estudio de la siguiente tabla hallando:

    xi

    fi

    3

    1

    5

    3

    7

    9

    9

    6

    11

    2

     

    Moda. Mediana. Media. Desviación típica. Coeficiente de variación. Desviación media. Rango. Varianza.

     

     

    Solución:

    Moda (Mo) es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta (fi).

    Mediana (Me):

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Me ≥ Fi/2

    Media (M):

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación (C. V):

    C. V = σ/M

    Desviación media (DM):

    DM = Σ|xi – M|/Σfi

    Rango o recorrido:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/Σfi) – M2

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas que se deben hallar, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    3

    1

    1

    3

    9

    4,5

    5

    3

    4

    15

    75

    2,5

    7

    9

    13

    63

    441

    0,5

    9

    6

    19

    54

    486

    1,5

    11

    2

    21

    22

    242

    3,5

     

    21

     

    157

    1253

    12,5

     

    Moda:

     Mo = 7

    Mediana:

    Me ≥ 21/2 = 10,5 → 13 ≥ 10,5, luego: Me = 7

    Media:

    M = 157/21 = 7,5

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación:

    C. V = 1,85/7,5 = 0,25 → 25%

    Desviación media:

    DM = 12,5/21 = 0,6

    Rango:

    11 – 3 = 8

    Varianza:

    σ2 = (1253/21) – 7,52 = 3,42

     

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 03

    Posted on noviembre 8th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Dado el siguiente diagrama:

    a)  ¿De qué tipo es?

    b)  Calcula la tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

    c)  Halla la media, mediana y moda

    d)  ¿Qué % de familias tienen 3 hijos?

    e)  Calcula la desviación típica.

     

     

    Solución:

    a)  Se trata de un diagrama de barras.

    b)   

    xi

    fi

    Fi

    hi

    Hi

    1

    5

    5

    5/45

    5/45

    2

    10

    15

    10/45

    15/45

    3

    15

    30

    15/45

    30/45

    4

    10

    40

    10/45

    40/45

    5

    5

    45

    5/45

    1

     

    45

     

    1

     

     
     

    c)  Con el fin de facilitar los cálculos de cada una de las medidas y la desviación típica, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    1

    5

    5

    5

    2

    10

    20

    40

    3

    15

    45

    135

    4

    10

    40

    160

    5

    5

    25

    125

     

    45

    135

    465

     
    Media aritmética (M):

    M = Σxi·fi/Σfi = 135/45 = 3

    Moda (Mo) es el valor de la variable estadística que presenta mayor frecuencia absoluta.

    Mo = 3, ya que la mayor frecuencia absoluta es 15

    Mediana (Me):

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ fi/2 = 45/2 = 22,5

    Como 30 ≥ 22,5, entonces xi = 3, luego Me = 3

    d)  Porcentaje de familias que tienen 3 hijos = 100·hi = 100·(15/45) = 33,33%

    e)  Desviación típica o estándar:

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 02

    Posted on noviembre 5th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Las notas de una alumna en las 10 asignaturas de Primero son: 1, 2, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 9. Halla:

    a)  Moda, mediana y media aritmética.

    b)  Desviación típica.

     

     

    Solución:

    Moda (Mo) = valor de la variable estadística que presenta mayor frecuencia absoluta.

    Mediana (Me) = primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos.

    Media aritmética (M):

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación típica o estándar (σ):

    Con el fin de facilitar los cálculos de cada una de las medidas y la desviación típica, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xifi

    xi2fi

    1

    1

    1

    1

    1

    2

    2

    3

    4

    8

    5

    2

    5

    10

    50

    6

    3

    8

    18

    108

    8

    1

    9

    8

    64

    9

    1

    10

    9

    81

     

    10

     

    50

    312

     

    a)  Moda (mayor fi):

    Mo = 6

    Mediana:

    Luego:

    Me = (5 + 6)/2 = 5,5

    Media aritmética:

    M = 50/10 = 5

    b)  Desviación típica: 

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 01

    Posted on noviembre 1st, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Después de realizada una encuesta acerca del número de hijos de 30 familias, se han obtenido los siguientes resultados:

    1, 0, 3, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 0, 0, 1, 4

    Realiza la tabla de frecuencias y su representación gráfica. Halla la media, moda, mediana y desviación típica.

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Desviación típica:

    Con el fin de facilitar los cálculos de cada una de las medidas y la gráfica, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xi· fi

    xi2· fi

    0

    6

    6

    0

    0

    1

    8

    14

    8

    8

    2

    10

    24

    20

    40

    3

    3

    27

    9

    27

    4

    2

    29

    8

    32

    5

    1

    30

    5

    25

     

    30

     

    50

    132

     

    Gráfica:

    Media:

    M = 50/30 = 1,67

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Me ≥ Fi/2 = 30/2 =15 → 24 ≥ 15 → xi = 2, luego Me = 2

    Moda (mayor fi):

    M0 = 2

    Desviación típica: