El Sapo Sabio

Representación gráfica de una función 04

Representa la siguiente función:

Solución:

Para formar la tabla de valores de y = 2x + 5, ha de tenerse en cuenta que x pertenece al intervalo ]–∞, –1[ (números menores que –1), y que por ser una función polinómica de primer grado se trata de una recta, por tanto con dos puntos tenemos suficiente para representarla.

x = –1 → y = 2 (–1) + 5 = 3 → (–1, 3)

x = –2 → y = 2 (–2) + 5 = 1 → (–2, 1)

El punto P₁ (–1, 3) es abierto, ya que –1 no pertenece al intervalo ]–∞, –1[.

Para formar la tabla de valores de y = x² – 1, ha de tenerse en cuenta que x pertenece al intervalo [– 1, 2[, y que por ser una función polinómica de segundo grado se trata de una parábola, luego es interesante averiguar su vértice y los puntos de corte con los ejes, siempre que los valores de x en estos puntos se encuentren dentro del intervalo considerado.

Puntos de corte:

Con el eje X:

Los puntos son: (–1, 0) y (1,0).

Con el eje Y:

x = 0 → y = 0² – 1 = –1

El punto es: (0, –1)

Vértice:

El vértice la de la parábola se encuentra en el punto (0, –1), o sea, en el punto de corte con el eje Y.

También nos interesa saber el punto en donde x = 2, aunque sea un punto abierto, ya que no pertenece al intervalo [– 1, 2[ (el 2 no está incluido en el intervalo):

x = 2 → y = 2² – 1 = 3 → (2, 3)

En el intervalo [2, +∞[, y = 3, luego se trata la recta paralela al eje X, que pasa por el punto (2, 3).

Tablas de valores:

Gráfica:

Nota.- El punto   (–1, 0) es cerrado y el punto (–1, 3) abierto.

Cilindro. Área y volumen 02

Se enrolla un alambre de 0,75 cm de diámetro en un carrete de radio 30 cm y altura 24 cm, cuál es la longitud del alambre.

Solución:

Datos: D = 0,75 cm; R = 30 cm; h = 24 cm

Si cortamos lateralmente el carrete y lo extendemos, su superficie lateral tendrá la forma de un rectángulo, cuya base será la longitud de una circunferencia de radio R y de altura igual a del carrete.

Cada vuelta completa del alambre tendrá la misma longitud que la base del rectángulo y cubrirá en el carrete, una altura igual al diámetro del alambre.

Según la figura anterior, la longitud de una de las vueltas del alambre será igual a la longitud de la base de la superficie lateral del carrete, es decir de la circunferencia de radio R, por tanto:

L₁ = 2 π R

Ahora nos falta saber el número de vueltas que se necesitan para cubrir todo el carrete, que será:

N (número de vueltas) = h / D

Por tanto, la longitud total del cable será:

L = 2 π R N = 2 π R (h / D)

L = 2 π · 30 cm · (24 cm / 0,75 cm) = 6031,86 cm

El alambre tendrá una longitud de 6032 cm, aproximadamente.

Representación gráfica de una función 03

Halla el dominio de las siguientes funciones y representa gráficamente cada una de ellas en unos ejes de coordenadas:

Solución:

En muchos casos la gráfica de una función procede de una gráfica de una función más simple tales como, por ejemplo, y = x² o y = 1/x, a las que se les realizan ciertos cambios como: traslaciones, reflexiones o ampliaciones, por tanto hemos de saber lo siguiente:

Si la función es y = f(x) + k, se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia arriba.

Si la función es y = f(x) – k, se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia abajo.

Si la función es y = f(x + k), se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia la izquierda.

Si la función es y = f(x – k), se trata de la función y = f(x) trasladada k unidades hacia la derecha.

La gráfica de y = –f(x), es una reflexión de la gráfica y = f(x).

La gráfica de y = k f(x), k > 0 y k ≠ 1, es una ampliación de la gráfica y = f(x).

a)      Dominio de la función:

Los únicos valores de x que no pertenecen al dominio de la función, son aquellos que anulan el denominador de la fracción, por tanto:

1 – x = 0 → x = 1

La función dada se puede expresar de la siguiente forma:

por tanto, se trata de la gráfica de la función y = 1/x (una hipérbola), que ha sufrido una traslación hacia la derecha de una unidad, una ampliación de dos unidades y una reflexión.

Gráfica de y = 1/x:

Ampliación:

Reflexión:

Traslación:

Esta última representación es la gráfica que debíamos trazar.

b)      Dominio de la función:

Al tratarse de una raíz de índice par, el radicando debe ser mayor o igual que cero, pues las raíces de índice par de números negativos, no tienen solución en el conjunto de número reales, por tanto:

La segunda función se puede expresar de la siguiente forma:

luego, procede de la gráfica de la función:

que ha sufrido una traslación hacia la derecha de cinco unidades. Por tanto, representaremos la anterior función y después realizaremos la traslación.

Gráfica de la función g(x):

Representación gráfica de una función 02

Representa gráficamente las siguientes funciones, hallando los puntos donde cortan a los ejes y las coordenadas de sus vértices:

a)      f(x) = –x² + 2x +3

b)      g(x) = x² – 3x – 4  

Solución:

Ambas funciones son polinómicas, por tanto sus respectivos dominios son todos los números reales y por ser de segundo grado, tendrán, cada una de ellas, como gráfica una parábola.

a)      Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X:

f (x) = 0 → –x² + 2x + 3 = 0

con el eje Y:

x = 0 → f (0) = 0 + 0 + 3 = 3 → (0, 3) 

Vértice de la parábola:

Tabla de valores:

Representación gráfica:

Según la figura podemos observar que se puede dibujar una de las ramas de la parábola, (tomando los valores de x menores que el del vértice, o los mayores según se prefiera), y por simetría se pueden hallar los puntos de la otra rama (los que están enfrente y a la misma distancia del eje de simetría)

b)      Punto de corte con los ejes:

Con el eje X:

g (x) = 0 → x² – 3x – 4 = 0

Con el eje Y:

x = 0 → g (0) = 0 – 0 – 4 = –4 → (0, –4) 

Vértice:

Tabla de valores:

Representación gráfica:

Representación gráfica de una función 01

Representa las siguientes rectas señalando los puntos de corte con los ejes:

Solución:

a)      Primero debemos hallar el dominio de la función, que en este caso, por ser una función polinómica, su dominio es todos los números reales.

Ahora tenemos que formar la tabla de valores, para lo cual ha de tenerse en cuenta que, en esta ocasión, al ser una función polinómica de primer grado su gráfica es una recta, por tanto con dos puntos tenemos suficiente para representarla.

x = 1 → y = 2 – 1 = 1

x = –1 → y = 2 – (–1) = 2 + 1 = 3

Puntos de corte:

Los puntos de corte de la función con el eje Y tienen por abscisa, x = 0, por tanto:

x = 0 → y = 2 – 0 = 2 → P₁ (0, 2)

Los puntos de corte de la función con el eje X tienen por ordenada, y = 0, luego:

y = 0 → 0 = 2 – x  → x = 2 → P₂ (2, 0)

Tabla de valores:

Representación gráfica:

b)      Primero despejamos y: 

x + y = –1 → y = –x – 1

Se trata de una función polinómica de primer grado, cuyo dominio es todos los números reales y su grafica es una recta.

x = –2 → y = – (–2) –1 = 2 – 1 = 1

x = 2 → y = –2 – 1 = –3

Puntos de corte:

Con el eje Y:

x = 0 → y = 0 – 1 = –1 → P₁ (0, –1)

Con el eje X:

y = 0 → 0 = –x – 1  → x = –1 → P₂ (–1, 0)

Tabla de valores:

Representación gráfica: