El Sapo Sabio

Rectas paralelas 02

Halla a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:

Solución:

Pasemos a implícitas las ecuaciones de la recta s.

Si los rangos de la matriz de los coeficientes, (A), y de la matriz ampliada, (A/B), son iguales a 2, las rectas son iguales.

Si el rango de la matriz (A) es 2 y la de la matriz (A/B) es 3, las rectas son paralelas disjuntas.

Si a = 1 y b = –2 → rg (A) = 2, ya que existe un menor de orden 2 diferente de cero:

Estudiemos el rango de la matriz ampliada para a = 1 y b = –2.

El valor del último determinante es cero ya que tiene dos filas iguales.

Por tanto:

Luego:

Si a = 1 y b = –2 → rg (A) = 2 y rg (A/B) = 3, luego las rectas son paralelas disjuntas.

También se puede hacer de la siguiente forma:

Como las rectas han de ser paralelas, el vector director de s y los vectores característicos de los planos que engendran la recta r, han de ser perpendiculares, luego sus productos escalares han de ser igual a cero.

(1, 2, 4)·(2, a, –1) = 0

2 + 2a – 4 = 0 → 2a = 2 → a =1

(1, 2, 4)·(2, 3, b) = 0

2 + 6 + 4b = 0 → 4b = –8 → b = –2

Rectas paralelas 01

Halla, en forma implícita, la ecuación de la recta que pasa por el punto A(0, 2, –1) y es paralela a la recta determinada por:

Solución:

Sea s la recta que pasa por A. Para poder hallar su ecuación se necesita un vector director de la misma.

Como la recta s ha de ser paralela a r, un vector director de esta última también lo será de la primera. Por tanto se trata de encontrar un vector director de r, para lo cual pasaremos a paramétricas las ecuaciones de r.

Estamos ante un sistema con dos ecuaciones y tres incógnitas que ha de ser compatible indeterminado, o sea, con infinitas soluciones, cada una de las cuales es un punto de la recta r en donde se cortan ambos planos.

Si x = l, lÎÂ y resolviendo en y, z, tenemos las ecuaciones paramétricas.

El vector director buscado es:

Ecuaciones continuas de s:

Ecuaciones implícitas de s:

Ecuaciones del plano 06

Dado el sistema de referencia:

de la figura.

a)  Calcula la ecuación del plano que pasa por A, B, D.

b)  Calcula las coordenadas de los vectores OA y OE.

Solución:

a)  Sea p el plano que pasa por los puntos A, B, D, y P un punto genérico de dicho plano.

Ecuación vectorial de p:

b)  Sea M un punto cualquiera perteneciente a la base R. Para expresar el vector OM en esta base, basta con buscar tres vectores, cada uno en la dirección de un eje, cuya suma sea el vector OM; lo que equivale en hallar un “camino” que vaya de O a M.

Aplicando lo anteriormente dicho tenemos que:

Para el vector OA:

Para el vector OE:

Ecuaciones del plano 05

Halla la ecuación del plano, en forma implícita, que contenga a la recta:

y sea paralelo al eje OX.

Solución:

Para hallar la ecuación de un plano necesitamos conocer, como mínimo, un punto y dos vectores directores del plano.

Sea p el plano buscado. Por contener a la recta r el punto A(0, –1, 3) pertenece al plano y el vector u = (2, 1, –1) es un vector director de p.

Por ser paralelo a al eje OX el vector v = (1, 0, 0) también es un vector del plano p.

Ecuaciones paramétricas de p:

Si queremos pasar a forma implícita debemos eliminar los parámetros a y b:

También se puede hacer de la siguiente forma:

Haz de planos de arista r:

Primero pasaremos a implícitas las ecuaciones de la recta r.

Haz de planos de arista r:

x – 2y – 2 + a·(x + 2z – 6) = 0

x – 2y – 2 + ax + 2az – 6a = 0

(1 + a) x – 2y + 2az – (2 + 6a) = 0

Haz de planos que contienen a OX:

mx = 0

Para que los planos sean paralelos los vectores [(1 + a), –2, 2a] y (m, 0, 0) tienen que ser linealmente dependientes, por tanto:

Sustituyendo en la ecuación obtenida en el haz de planos de arista r:

 (1 – 1) x – 2y + 2·(–1)z – [2 + 6·(–1)] = 0

–2y – 2z + 4 = 0

p: y + z – 2 = 0

Ecuaciones del plano 04

Halla, en forma paramétrica, la ecuación del plano determinado por las rectas:

Solución:

Para hallar la ecuación del plano p necesitamos un punto y dos vectores directores, es decir, los vectores directores de las rectas que contiene y un punto de ellas.

De la recta r tenemos el vector director u = (2, 3, 1), los denominadores de las fracciones.

De la recta s tenemos el vector director v = (1, 1, 1), los coeficientes de l y el punto A(2, 1, 0), los valores de los términos independientes.

Ecuaciones paramétricas del plano p: