El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 03

    Posted on diciembre 10th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Se ha obtenido un test de inteligencia a todos los alumnos de una clase. Las puntuaciones obtenidas son:

    PUNTUACIONES

    [10, 15[

    [15, 20[

    [20, 30[

    [30, 40[

    [40, 45[

    [45, 60[

    Nº ALUMNOS

    6

    6

    10

    5

    10

    3

     

    a)  Dibuja el histograma

    b)  Halla la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    a)  Como los intervalos no son del mismo tamaño, para representar el histograma debemos calcular las alturas de cada barra de manera que el área representada sea proporcional a la frecuencia.

    altura = frecuencia/amplitud intervalo

    a1 = 6/(15 – 10) = 6/5 = 1,2

    a2 = 6/(20 – 15) = 6/5 = 1,2

    a3 = 10/(30 – 20) = 1

    a4 = 5/(40 – 30) = 0,5

    a5 = 10/(45 – 40) = 2

    a6 = 3/(60 – 45) = 3/15 = 0,2

    b)    

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    12,5

    6

    75

    937,5

    17,5

    6

    105

    1837,5

    25

    10

    250

    6250

    35

    5

    175

    6125

    42,5

    10

    425

    18062,5

    52,5

    3

    157,5

    8268,75

     

    40

    1187,5

    41481,25

     

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 1187,5/40 = 29,7

    Desviación típica:

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 02

    Posted on diciembre 6th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    Dados:

    a)  Los siguientes estudios realizados en la misma clase:

    Nº horas que dedican al deporte al mes

    [0, 10)

    [10, 20)

    [20, 30)

    [30, 40)

    Nº de alumnos

    2

    6

    8

    4

     
    b)  El número de libros que leen los alumnos de una clase:

    0, 0, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1

    Realiza sus tablas de frecuencias, calcula las medidas de centralización y de dispersión y realiza con una de ellas un diagrama de barras y con la otra un diagrama de sectores.

     

     

    Solución:

    Media :

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con mayor exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Medidas de dispersión:

    Desviación media:

    D.M. = Σ|xi – M|/Σfi

    Varianza:

    σ2 = (Σfi·xi2/Σfi) – M2

    Desviación típica:

    a)     

    Intervalo

     xi

     fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0 – 10

    5

    2

    2

    10

    50

    17

    10 – 20

    15

    6

    8

    90

    1350

    7

    20 – 30

    25

    8

    16

    200

    5000

    3

    30 – 40

    35

    4

    20

    140

    4900

    13

     

     

    20

     

    440

    11300

    40

     

    Medidas de centralización.

    Media:

    M = 440/20 = 22

    Mediana:

    Fi ≥ 20/2 = 10 → 16 ≥ 10 → 20 – 30

    Clase mediana o intervalo mediana: 20 – 30

    Me = 20 + (30 – 20)·[(10 – 8)/8] = 22,5

    Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 20 – 30

    M0 = 20 + 10·{(8 – 6)/[(8 – 6) + (8 – 4)]}

    M0 = 20 + (20/6) = 140/6 = 23,3

    Medidas de dispersión:

    Desviación media:

    D. M. = 40/20 = 2

    Varianza:

    σ2 = (11300/20) – 222 = 81

    Desviación típica:

    Amplitud de los sectores:

    [0, 10) = (360/20)·2 = 36º

    [10, 20) = (360/20)·6 = 108º

    [20, 30) = (360/20)·8 = 144º

    [30, 40) = (360/20)·4 = 72º

    Diagrama de sectores de la frecuencia absoluta.

    b)     

     xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0

    7

    7

    0

    0

    1

    1

    8

    15

    8

    8

    0

    2

    3

    18

    6

    12

    1

    3

    2

    20

    6

    18

    2

     

    20

     

    20

    38

    4

     

    Medidas de centralización:  

    Media:

    M = 20/20 = 1

    Mediana:

    Fi ≥ 20/2 = 10 → 15 ≥ 10 → xi = 1

    Me = 15

    Moda:

    M0 = 1

    Medidas de dispersión.

    Desviación media:

    D. M. = 4/20 = 0,2

    Varianza:

    σ2 = (38/20) – 12 = 0,9

    Desviación típica:

    Diagrama de barras de la frecuencia absoluta:

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 01

    Posted on diciembre 3rd, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    La distribución de pesos de 60 pacientes de un centro médico es la siguiente:

    Kilos de peso

    Número de pacientes

    [50, 60[

    3

    [60, 70[

    15

    [70, 80[

    20

    [80, 90[

    17

    [90, 100[

    4

    [100, 110[

    1

     

    Realiza la representación gráfica de la distribución y halla la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    Media :

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación típica:

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

    Intervalo

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    50 – 60

    55

    3

    165

    9075

    60 – 70

    65

    15

    975

    63375

    70 – 80

    75

    20

    1500

    112500

    80 – 90

    85

    17

    1445

    122825

    90 – 100

    95

    4

    380

    36100

    100 – 110

    105

    1

    105

    11025

     

     

    60

    4570

    354900

     

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 4570/60 = 76,17

    Desviación típica:

     

     

  • Medidas de centralización de una variable continua 03

    Posted on noviembre 29th, 2018 ManuelMiralles No comments

    Dada la siguiente distribución:

    Intervalos

    fi

    0 – 2

     4

    2 – 4

     6

    4 – 5

     4

    5 – 7

     12

    7 – 10

     9

     

    Calcular:

    a)  Media

    b)  Medina

    c)  Cuartiles

    d)  Moda

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Ahora bien, si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Pero, si los intervalos no tienen la misma amplitud, como sucede en este problema, debemos utilizas la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(ki – ki, anterior)/[(ki – ki, anterior) + (ki – ki, posterior]}

    Siendo:

    ki = frecuencia/amplitud

    Por lo tanto, en este problema tenemos que:

    k1 = 4/(2 – 0) = 2; k2 = 6/(4 – 2) = 3; k3 = 4/(5 – 4) = 4

    k4 = 12/(7 – 5) = 6; k5 = 9/(10 – 7) = 3

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.

    Marcas de clase:

    x1 = (0 + 2)/2 = 1; x2 = (2 + 4)/2 = 3; x3 = (4 + 5)/2 = 4,5

    x4 = (5 + 7)/2 = 6; x5 = (7 + 10)/2 = 8,5

    Intervalos

    xi

    fi

    Fi

    ki

    xi·fi

    0 – 2

    1

    4

    4

    2

    4

    2 – 4

    3

    6

    10

    3

    18

    4 – 5

    4,5

    4

    14

    4

    18

    5 – 7

    6

    12

    26

    6

    72

    7 – 10

    8,5

    9

    35

    3

    76,5

     

     

    35

     

     

    188,5

     

    a)  Media aritmética:

    M = Σxi·fi/Σfi = 188,5/35 = 5,39

    b)  Mediana:

    Clase mediana o intervalo mediana.

    Fi ≥ Σfi/2 = 35/2 = 17,5 → 26 ≥ 17,5 → 5 – 7

    Me = 5 + (7 – 5)·{[(35/2) – 14]/12}

     Me = 5 + 2·[(17,5 – 14)/12] = 5 + 2·(3,5/12) = 5 + (7/12) = 67/12

    Me = 5,58

    También se puede hacer gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Me – 5)/(17,5 – 14) = (7 – 5)/(26 – 14)

    (Me – 5)/3,5 = 2/12

    Me – 5 = 7/12 → Me = 5 + (7/12) = 67/12

    Me = 5,58

    c)    Primer cuartil (Q1):

    El problema consiste en encontrar el valor del eje X al que le corresponde Σfi/4 datos. El razonamiento es análogo al utilizado en el apartado anterior para el cálculo de la mediana tomando Σfi/4 en vez de Σfi/2.

    Fi ≥ Σfi/4 = 35/4 = 8,75 → 10 ≥ 8,75 → 2 – 4 

    Q1 = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/4) – Fi (anterior)]/fi}

    Q1 = 2 + (4 – 2)·[(8,75 – 4)/6] = 2 + (9,5/6) = 21,5/6 = 3,58

    Gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Q1 – 2)/(8,75 – 4) = (4 – 2)/(10 – 4)

    (Q1 – 2)/4,75 = 2/6 → Q1 – 2 = 9,5/6

    Q1 = 2 + (9,5/6) → Q1 = 21,5/6 = 3,58

    Tercer cuartil (Q3):

    Este caso es como el anterior pero se toma 3·Σfi/4 en vez de Σfi/4.

    Fi ≥ 3·Σfi/4 = 3·35/4 = 26,25 → 35 ≥ 26,25 → 7 – 10  

    Q3 = Cota (inferior) + Amplitud·{[(3·Σfi/4) – Fi (anterior)]/fi}

    Q3 = 7 + (10 – 7)·[(26,25 – 26)/9] = 7 + (0,75/9) = 7,083

    Gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Q3 – 7)/(26,25 – 26) = (10 – 7)/(35 – 26)

    (Q3 – 7)/0,25 = 3/9 → Q3 – 7 = 0,25/3

    Q3 = 7 + (0,25/3) → Q3 = 7,083

    (Nota: Q2 = Me y Q4 = Extremo superior del último intervalo, es decir, 10)

    d)  Moda

    El intervalo modal o clase modal será aquél cuya altura (ki) sea la mayor, es decir:

    5 – 7

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(ki – ki, anterior)/[(ki – ki, anterior) + (ki – ki, posterior)]}

    Mo = 5 + (7 – 5)· {(6 – 4)/[(6 – 4) + (6 – 3)]}

    Mo = 5 + (4/5) = 29/5 = 5,8

    Gráficamente:

    x/(6 – 4) = y/(6 – 3)

    (M0 – 5)/2 = (7 – M0)/3

    3 M0 – 15 = 14 – 2 M0

    5 M0 = 29 → M0 = 29/5

    M0 = 5,8

     

     

  • Medidas de centralización de una variable continua 02

    Posted on noviembre 26th, 2018 ManuelMiralles No comments

     

    En la biblioteca de un centro se han tomado 100 libros y se ha contado el número de obras reseñadas en la bibliografía de cada uno de ellos, resultando la siguiente tabla:

     

    Calcular:

    a)  Media

    b)  Mediana

    c)  Moda

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

    Intervalos 

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    0 – 10

    5

    8

    8

    40

    20 – 30

    15

    12

    20

    180

    20 – 30

    25

    10

    30

    250

    30 – 40

    35

    14

    44

    490

    40 – 50

    45

    21

    65

    945

    50 – 60

    55

    16

    81

    880

    60 – 70

    65

    10

    91

    650

    70 – 80

    75

    5

    96

    375

    80 – 90

    85

    3

    99

    255

    90 – 100

    95

    1

    100

    95

     

     

    100

     

    4160

     

    a)  Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 4160/100 = 41,6

    b)  Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ Σfi/2 = 100/2 = 50 → 65 ≥ 50 → 40 – 50

    Clase mediana o intervalo mediana: 40 – 50

    La mediana está en el intervalo [40 – 50) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

    Me = 45

    Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Me = 40 + (50 – 40)·[(50 – 44)/21]

    Me = 40 + (60/21) = 900/21 = 42,86

    También se puede obtener gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Me – 40)/(50 – 44) = (50 – 40)/(65 – 44)

    (Me – 40)/6 = 10/21 → Me – 40 = 60/21 

    Me = 40 + (60/21) = (60 + 840)/21 

    Me = 900/21 = 42,86 

    c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 40 – 50.

    Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    M0 = 40 + (50 – 40)·{(21 – 14)/[(21 – 14) + (21 – 16)]}

    M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

    También se puede obtener gráficamente:

    x/(21 – 14) = y/(21 – 16) → x/7 = [(50 – 40) – x]/5

    x/7 = (10 – x)/5 → 5 x = 70 – 7 x

    12 x = 70 → x = 70/12

    M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83