El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Esperanza matemática 06

    Posted on noviembre 23rd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Un juego consiste en extraer al azar una carta de una baraja española (40 cartas), de tal manera que se gana 1000 euros si saca un as, 100 euros si obtiene una figura y no se gana nada si se extrae cualquier otra carta.

    a)  El organizador del juego cobra 150 euros por cada extracción. ¿Qué beneficio obtendrá por término medio, en cada una de ellas?

    b)  ¿Cuánto debe cobrar por extracción el organizador si el juego debe ser equitativo?

     

     

    Solución:

    Total de cartas = 4 ases + 12 figuras + 4·6 resto = 40   (1, 2, ….,7, 10, 11, 12)

    Esperanza:

    μ = Σxi·f(xi)

    xi (premios)

    f(xi) = P[X = xi]

    xi·f(xi)

    0

    24/40

    0

    100

    12/40

    1200/40

    1000

    4/40

    4000/40

     

    1

    5200/40

     

    μ = 5200/40 = 130

    a)  Beneficio = 150 – 130 = 20 

    b)  Importe apuesta = 150 – 20 = 130 euros

     

     

  • Esperanza matemática 05

    Posted on noviembre 20th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Un juego consiste en lanzar dos dados, de forma que se ganan tantos euros como indique la suma de puntos si ésta es un número primo, o bien, se pierden 5 euros en caso contrario.

    a)  Obtén la función de probabilidad f de la variable aleatoria X que indica la ganancia correspondiente a cada resultado.

    b)  Determina si el juego es equitativo.

     

     

    Solución:

    Tabla de resultados:

    +

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

     

    Números primos = {2, 3, 5, 7, 11}

    Ganancia si el número es primo = 2, 3, 5, 7 u 11 euros.

    Pérdida si el número no es primo = 5 euros.

    a)  Función de probabilidad:

    x

    2

    3

    5

    7

    11

    Otros casos

    f(x) 

    2

    3

    5

    7

    11

    –5

    b)    

    Si μ = 0 el juego es equitativo.

    Si μ < 0 el juego perjudica al jugador.

    Si μ > 0 el juego favorece al jugador.

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    xi

    f(xi)

    xi· f(xi)

    –5

    21/36

    –105/36

    2

    1/36

    2/36

    3

    2/36

    6/36

    5

    4/36

    20/36

    7

    6/36

    42/36

    11

    2/36

    22/36

     

    1

    –13/36

    μ = –13/36 = –0,36

    Como μ < 0 el juego perjudica al jugador y, por tanto, no es equitativo.

     

     

  • Esperanza matemática 04

    Posted on noviembre 16th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Un individuo compra una rifa para un sorteo en el cual hay tres premios: el primer premio está dotado con 25000 euros, el segundo con 15000 y el tercero con 10000. La probabilidad del primer premio es 1/5000, la de ganar el segundo premio es 1/3000 y la de ganar el tercero es 1/1000. Sea X la variable aleatoria que indica la ganancia en el sorteo. Calcula la esperanza.

     

     

    Solución:

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    xi (premios)

    f(xi) = P[X = xi]

    xi·f(xi)

    10000

    1/1000

    10

    15000

    1/3000

    5

    25000

    1/5000

    5

     

     

    20

     

    μ = 20

     

     

  • Esperanza matemática 03

    Posted on noviembre 13th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Se sortean, entre 500 papeletas, un premio de 10000 euros y nueve de 1000 euros. Si cada papeleta se vende al precio de 50 euros:

    a)  ¿Es rentable para el jugador participar?

    b)  ¿Qué beneficio le queda al organizador, por término medio, en cada papeleta?

     

     

    Solución:

    a)  Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    xi (premios)

    f(xi) = P[X = xi]

    xi·f(xi)

    0

    490/500

    0

    1000

    9/500

    9000/500

    10000

    1/500

    10000/500

     

     

    19000/500

     

    μ = 19000/500 = 38

    Como la media de lo que se puede ganar en el juego es de 38 euros y el precio de la apuesta es de 50 euros, el juego no es equitativo.

    b)     

    Beneficio = 50 – 38 = 12 euros

     

     

  • Esperanza matemática 02

    Posted on noviembre 9th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Una empresa hace un estudio para decidir si lanza un producto A u otro B. Según el estudio si lanza A tiene una probabilidad de 0,7 de ganar 25 millones y una probabilidad de 0,3 de perder 7 millones. Si lanza B, tiene una probabilidad 0,8 de ganar 20 millones y una probabilidad de 0,2 de perder 5 millones. ¿Qué producto debe comercializar? ¿Por qué?

     

     

    Solución:

    Quien tenga mayor esperanza matemática será el producto que más interesa comercializar.

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·p(xi)

    Respecto al producto A la variable aleatoria toma valores 25 millones con probabilidad 0,7 y –7 millones con probabilidad 0,3; por tanto:

    μ = 25·0,7 – 7·0,3 = 15,4

    Con relación al producto B la variable aleatoria toma valores 20 millones con probabilidad 0,8 y –5 millones con probabilidad 0,2; luego:

    μ = 20·0,8 – 5·0,2 = 15

    El beneficio medio esperado del producto A es de 15,4 millones, mientras que el de B es de 15 millones, por tanto el primer producto es el más interesante para comercializar.