El Sapo Sabio

Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Propiedades de la probabilidad 29

    Posted on marzo 23rd, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean M y N dos sucesos con P(M) = 0,5; P(N) = 0,3 y P(MN) = 0,1. Halla las probabilidades siguientes:

    a)  P(MUN)

    b)  P(M/N)

    c)  P(M/MN)

    d)  P(M/MUN)

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 0,5; P(N) = 0,3; P(MN) = 0,1

    a)     

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MUN) = 0,5 + 0,3 – 0,1 = 0,7

    b)     

    P(M/N) = P(MN)/P(N)

    P(M/N) = 0,1/0,3 = 1/3

    c)    

    P(M/MN) = P[M(MN)]/P(MN)

    PROPIED PROBAB 29

    M(MN) = MN

    P[M(MN)] = P(MN)

    P(M/MN) = P(MN)/P(MN) = 1

    d)   

    P(M/MUN) = P[M(MUN)]/P(MUN)

    PROPIED PROBAB 20

    M(MUN) = M

    P[M(MUN)] = P(M)

    P(M/MUN) = P(M)/P(MUN)

    P(M/MUN) = 0,5/0,7 = 5/7

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 28

    Posted on marzo 20th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean M y N dos sucesos tales que: P(M) = 1/2, P(N) = 1/3 y P(MN) = 1/4. Halla:

    a)  P(M/N)

    b)  P(N/M)

    c)  P(M’/N’)

    d)  P(MUN)

    e)  P(N/M’)

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 1/2; P(N) = 1/3; P(MN) = 1/4

    a)   

    P(M/N) = P(MN)/P(N)

    P(M/N) = (1/4)/(1/3) = 3/4 = 0,75

    b)   

    P(N/M) = P(NM)/P(M)

    P(N/M) = (1/4)/P(1/2) = 2/4 = 1/2 = 0,5

    c)   

    P(M’/N’) = P(M’N’)/P(N’)

    P(M’N’) = P(MUN)’ = 1 – P(MUN)

    P(M’N’) = 1 – [P(M) + P(N) – P(MN)]

    P(M’N’) = 1 – P(M) – P(N) + P(MN)

    P(M’N’) = 1 – (1/2) – (1/3) + (1/4)

    P(M’N’) = (1/2) – (1/3) + (1/4) = (6 – 4 + 3)/12 = 5/12

    P(N) + P(N’) = 1 → P(N’) = 1 – P(N) = 1 – (1/3) = 2/3

    P(M’/N’) = (5/12)/(2/3) = 5/8 = 0,625

    d)   

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MUN) = (1/2) + (1/3) – (1/4) = (6 + 4 – 3)/12 = 7/12

    e)   

    P(N/M’) = P(NM’)/P(M’)

    P(NM’) = P(N) – P(MN) = (1/3) – (1/4) = 1/12

    P(M) + P(M’) = 1 → P(M’) = 1 – P(M) = 1 – (1/2) = 1/2

    P(N/M’) = (1/12)/(1/2) = 2/12 = 1/6

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 27

    Posted on marzo 16th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean M y N dos sucesos de un espacio muestral de los que sabemos que P(M) = 1/5 y P(N) = 1/3. Se pide calcular P(MUN) bajo las siguientes situaciones:

    a)  Si M y N son mutuamente excluyentes.

    b)  Si siempre que ocurre M también ocurre N.

    c)  Si M y N son independientes.

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 1/5; P(N) = 1/3.  

    a)  Mutuamente excluyentes quiere decir incompatibles, por tanto, P(MN) = 0.

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MUN) = (1/5) + (1/3) – 0 = (3 + 5)/15 = 8/15 = 0,533

    b)  Si siempre que ocurre M también ocurre N implica que:

    PROPIED PROBAB 22

    luego:

    (MUN) = B → P(MUN) = P(N) = 1/3

    O también:

    PROPIED PROBAB 27

    (MN) = M → P(MN) = P(M)

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(M) = P(N) = 1/3

    c)  Si M y N son independientes, P(MN) = P(M)·P(N) = (1/5)·(1/3) = 1/15, por tanto:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN) = (1/5) + (1/3) – (1/15) =

    = (3 + 5 – 1)/15 = 7/15 = 0,567

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 26

    Posted on marzo 13th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean los sucesos M, N y Q, mutuamente independientes dos a dos y tales que P(M) = P(N) = P(Q) = 1/3. Halla la probabilidad de que ocurra exactamente dos de estos sucesos.

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = P(N) = P(Q) = 1/3

    P(MNQ’)en cualquier orden = 3·P(M)·P(N)·P(Q’) =

    = 3·P(M)·P(N)·[1 – P(Q’)] = 3·(1/3)·(1/3)·[1 – (1/3)] =

    = (1/3)·(2/3) = 2/9

    Se puede aplicar la ley multiplicativa porque los sucesos son independientes.

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 25

    Posted on marzo 9th, 2017 ManuelMiralles No comments

     

    Sean dos sucesos M y N tales que P(M) = 1/5, P(N) = 1/2 y P(MUN) = 3/5. Halla:

    a)  P(M’UN)

    b)  P(M’/N)

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 1/5; P(N) = 1/2; P(MUN) = 3/5

    a)  Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(M’UN) = P(M’) + P(N) – P(M’N)

    P(M) + P(M’) = 1 → P(M’) = 1 – P(M) = 1 – (1/5) = 4/5

    Ahora nos falta saber el valor de P(M’N)

    PROPIED PROBAB 24

    El complementario de M es todo lo que no pertenece a M, es decir, todo el espacio sombrado de amarillo. Por tanto la intersección con N será lo que pertenece a N pero no a M, o sea, N menos M, luego:

    P(M’∩N) = P(N – M) = P(N) – P(M∩N)

    Aplicando la probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(M∩N)

    P(M∩N) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(M∩N) = (1/5) + (1/2) – (3/5) = (2 + 5 – 6)/10 = 1/10

    P(M’UN) = (1/2) – (1/10) = 4/10

    P(M’UN) = (4/5) + (1/2) – (4/10) = (8 + 5 – 4)/10 = 9/10 = 0,9

    b)  Probabilidad condicionada:

    P(M’/N) = P(M’∩N)/P(N)

    Del apartado anterior tenemos que:

    P(M’∩N) = 1 – P(M) + P(N) – P(M’UN)

    P(M’∩N) = 1 – (1/5) + (1/2) – (9/10)

    P(M’∩N) =  (3/2) – (11/10) = 4/10 = 2/5

    P(M’/N) = (2/5)/(1/2) = 4/5