Rodadura del sólido rígido. Poleas 05

 

Calcula la velocidad angular de la doble polea, la lineal de los bloques y las tensiones de la cuerda. Cuando la polea haya girado un ángulo j, partiendo del reposo, que velocidad angular llevará.

Datos de la doble polea: Radios, R1 y R2. Momento de inercia I.

 

 

Solución:

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:

M = Mm1 g + MN + MM g + Mm2 g

Mm1 g = R1 m1 g sen 90º = R1 m1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Mm2 g = R2 m2 g sen 90º = R2 m2 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = R1 m1 g + 0 + 0 + R2 m2 g

M = g (R1 m1 + R2 m2) (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Este momento hará que la doble polea comience a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj, cosa que era evidente.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MM g + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MM g = 0

MT1 = R1 T1 sen 90º = R1 T1 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT2 = R2 T2 sen 90º = R2 T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R1 T1 + R2 T2

M = R1 T1 + R2 T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R1 T1 + R2 T2 = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.

–T2 + m2 g = m2 a2

–T1 + m1 g = m1 a1

Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:


Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre estas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

dd/dt = (dφ/dt) R → v = ω R

dv/dt = (dω/dt) → a = α R

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

De todo lo anterior se tiene que:

Ahora se puede resolver por Cramer:

De Cinemática tenemos que:

ω = ω0 + α t           φ = ω0 t + (1/2) α t2

como partimos del reposo ω0 = 0, luego:

ω = α t                  φ = (1/2) α t2

despejando el tiempo en la segunda expresión y sustituimos en la primera, tenemos que:

Por lo tanto:

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Poleas 04

 

Calcula la aceleración angular de la polea, la lineal de los bloques y la tensión de la cuerda, suponiendo que m2 > m1.

Datos de la polea: Masa: M (concentrada en la periferia). Radio: R.

 

 

Solución:

Datos: v0 = 0; ω0 = 0; M; m2 > m1

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

Para hallar el sentido del movimiento basta con considerar el peso de los bloques cuyas cuerdas están a la misma distancia del centro. Bajará el bloque que pese más, es decir, el bloque 2. Por lo tanto el sentido de giro del sistema es el de las agujas del reloj.

Veámoslo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque:

M = Mm1,g + MN + MMg + Mm2,g

Mm1,g = R m1 g sen 90º = R m1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj) 

Mm2,g = R m2 g sen 90º = R m2 g (Sentido de las agujas del reloj) 

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = R m1 g + 0 + 0 + R m2 g = R g (m1 – m2)

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que m2 > m1.

En cuanto la polea comience a girar cambiarán las tensiones en los extremos de la cuerda y ya no serán iguales al peso del bloque correspondiente.

Rotación de la polea y traslación de los bloques:

MT1 = R T1 g sen 90º = R T1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj) 

MT2 = R T2 g sen 90º = R T2 g (Sentido de las agujas del reloj) 

Como ya se ha dicho anteriormente, el peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto:

MT2 > MT1

Momento del torque:

M = R T2 – R T1 (Sentido de las agujas del reloj) 

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:

R T2 – R T1 = I α

Traslación de los bloques:

T1 – m1 = m1 a                 m2 g – T2 = m2 g    

Ahora se debe poner la aceleración de traslación a en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

dd/dt = (dφ/dt) R v = ω R

dv/dt = (dω/dt) a = α R

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

De todo lo anterior, resulta el siguiente sistema:

         Momento de inercia de una polea cuya masa está concentrada en la periferia, respecto a un eje perpendicular a su centro:

I = M R2

Sustituyendo en las anteriores expresiones:

Se puede observar que si la masa de la polea es cero, las tensiones en los extremos de la cuerda, durante el movimiento, son iguales.

 

 

 

Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 05

 

Por un plano inclinado se dejan rodar sin deslizar dos esferas de igual masa y radio, pero con distinto momento de inercia. Discutir cuál de ellas llega antes abajo admitiendo que el c. d. m de ambas esferas está en su centro geométrico.

 

 

Solución:

De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c. d. m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I a/R a = M R/I

La única fuerza útil es m g sen φ, por tanto el cuerpo bajará por la rampa y girará en el sentido de las agujas del reloj.

La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a m g sen φ.

Rotación alrededor del c. d. m:

Rotación alrededor del c.d.m:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0                     Mm g cos φ = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

MN = R N sen 180º = 0

 M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R Fr R/ I = R2 Fr/I

Traslación del c. d. m:

N = m g cos φ

m g sen φFr = m a Fr = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = R2 (m g sen φ – m a)/I

a I = R2 (m g sen φ – m a)

 a I = R2 m g sen φ – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g sen φ

(I + R2 m) a = R2 m g sen φ

a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)

La aceleración de traslación será mayor para la esfera que tenga menor momento de inercia y será ésta la que llegue antes.

Nota:

Una de las esferas podría ser homogénea de radio R con densidad, por tanto:


d = m/V m = d V

V = (4/3) π R3 m = (4/3) π R3 d

La otra esfera podría ser una esfera de radio R y densidad d que contiene una subesfera concéntrica de radio R' y densidad d’, luego:


m = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

Para que ambas esferas tengan igual masa deberá cumplirse que:

(4/3) π R3 d = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

R3 d = R’3 d’ + (R – R’)3 d

R3 d – R’3 d’ = (R – R’)3 d

 

 

 

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