Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 09

 

Calcular la velocidad del objeto en el punto B si se le aplica una fuerza F = 10 N, y se opone un rozamiento de Fr = 3 N.

Datos: α = 30º; m = 200 g; vA = 3 m/s

 

 

Solución:

Datos: F = 10 m; Fr = 3 N; α = 30º; m = 0,2 kg; vA = 3 m/s; hA = 1 m; hB = 2,5 m

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr), a la normal de la superficie (N) y a la fuerza F.

SW = Wmg + Wr + WN + WF

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la fuerza F:

WF = F L cos 0º = F L

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = – Fr L

Luego:

SW = F L – Fr L = (F – Fr) L

Cambios de energía.

Energía cinética:

Ec = Ec2 – Ec1 = (1/2) m vB2 – (1/2) m vA2

Energía potencial:

Ep = Ep2 – Ep1 = m g hB – m g hA

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación:

(F – Fr) L = (1/2) m vB2 – (1/2) m vA2 + m g hB – m g hA

(F – Fr) L = (1/2) m vB2 – (1/2) m vA2 + m g hB – m g hA

Los ángulos α son iguales por tener sus lados paralelos.

sen α = (hB – hA)/L → L = (hB – hA)/sen α

Luego:

(F – Fr) [(hB – hA)/sen α] = (1/2) m vB2 – (1/2) m vA2 + m g (hB – hA)

(1/2) m vB2 = [(F – Fr) (hB – hA)/sen α] + (1/2) m vA2 – m g (hB – hA)

vB2 = [2(F – Fr) (hB – hA)/m sen α] + vA2 – 2 g (hB – hA)

Veamos si la expresión hallada es correcta mediante la ecuación de dimensiones:

Luego sí es correcta.

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 08

 

Se hace subir un cuerpo por una rampa de ángulo a aplicándoles una fuerza igual a su peso y paralela a la rampa. Siendo µ el coeficiente de rozamiento entre bloque y rampa, calcula la distancia que habrá recorrido cuando su velocidad sea v.

 

 

Solución:

Datos: a, F = m g, μ, v, v0 = 0

Principio de conservación de la energía:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr), a la normal de la superficie (N) y a la fuerza F.

SW = Wmg + Wr + WN + WF

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la fuerza F:

WF = F L cos 0º = F L = m g L

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = – µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

Por lo tanto:

Wr = –µ m g L cos α

Luego:

SW = m g L – µ m g L cos α

Cambios de energía.

Energía cinética:

Ec = Ec2 – Ec1 = (1/2) m v2 – (1/2) m v02

Ec = (1/2) m v2 – 0

Ec = (1/2) m v2

Energía potencial:

Ep = Ep2 – Ep1 = m g h – 0

∆Ep = m g h

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación:

m g L – µ m g L cos α = (1/2) m v2 + m g h

Ahora bien:

sen α = h/L h = L sen α

luego:

m g L – µ m g L cos α = (1/2) m v2 + m g L sen α

g L – µ g L cos α = (1/2) v2 + g L sen α

g L – µ g L cos α – g L sen α = (1/2) v2

(1 – µ cos α – sen α) g L = (1/2) v2

L = v2/2 g (1 – µ cos α – sen α)

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 07

 

Desde el punto más alto de una rampa de altura h y ángulo α se impulsa un bloque hacia abajo con velocidad v0. Sabiendo que el bloque llega al final de la rampa con la misma velocidad que salió aplica el principio de la conservación para determinar el valor del coeficiente de rozamiento.     

 

 

Solución:

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr) y a la normal de la superficie (N).

SW = Wmg + Wr + WN

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

luego:

Wr = –µ m g L cos α

sen α = h/L → L = h/sen α

Wr = –µ m g (h/sen α) cos α

Por lo tanto:

SW = –µ m g (h/sen α) cos α

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v0                  hin = h

Estado final:

vfin = v0             hfin = 0

ΔEc = (1/2) m v02 – (1/2) m v02 = 0

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

–µ m g (h/sen α) cos α = –m g h

(µ/sen α) cos α = 1

µ = sen α/cos α = tg α

 

 

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