Oscilador armónico simple 10

 

Determina el período de oscilación de un bloque de 2 kg unido a un muelle de constante 1 N/m colgado del techo.

 

 

Solución:

Datos: m = 2 kg; k = 1 N/m

Consideremos el bloque en la posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan.

Fe = m g → k d = m g → d = m g/k, siendo k = 1 N/m

Llevamos el bloque a una distancia y de la posición de equilibrio y soltamos:

La fuerza elástica es mayor que el peso (el muelle está más estirado que en la posición de equilibrio). La fuerza útil va hacia arriba y por tanto la aceleración también se dirige hacia arriba.

Fe – m g = m a → k (d + y) – m g = m a

Sustituyendo el valor de d obtenido en la situación de equilibrio:

k [(m g/k) + y] – m g = m a

m g + k y – m g = m a

a = (k/m) y

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a ésta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico.

En Cinemática el módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = ω2 x (Se ha suprimido el signo menos porque se trata de un módulo)

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica tiene que ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática, luego, teniendo en cuenta que en este problema x = y, tenemos que:

         Veamos si la expresión hallada es correcta mediante la ecuación de dimensiones.

         Por tanto:

 

 

Oscilador armónico simple 09

 

El bloque de 800 g descansa sobre una superficie lisa y está unido a un muelle que se estira 2,4 cm cuando se le cuelga una masa de 110 g. Se empuja el bloque comprimiendo 10 cm el resorte y se suelta. Escribe la ecuación del movimiento armónico resultante.

 

 

Solución:

Datos: m = 800 g; v0 = 0; x = 2,4 cm → m’ = 110 g; A = 10 cm

Ecuación del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

Debemos tener claro que en este problema hay dos situaciones:

1)  El muelle suspendido verticalmente se estira 2,4 cm al colgarle una masa de 110 g

2)  El muelle colocado horizontalmente provoca la oscilación de un bloque de 800 g

Cálculo de la fase inicial:

Cuando t = 0, x = –A, luego:

–A = A sen φ0 sen φ0 = –A/A = –1→ φ0 = (3π/2) rad 

No se consideran las repeticiones porque en la situación inicial k = 0 (No confundir con la constante elástica del muelle).

Cálculo del período:

Consideremos el bloque en la posición de equilibrio y las fuerzas que actúan sobre él.

En la posición de equilibrio el muelle no está deformado. No hay fuerza tangencial.

Llevamos el bloque a una distancia x de la posición de equilibrio y soltamos.

Observa que estamos desplazando el bloque hacia la derecha, mientras que en el problema el bloque se desplaza hacia la izquierda de la posición de equilibrio. Para calcular el período no importa el sentido de la elongación

Fuerzas normales:

N – m g = 0 N = m g

Fuerza tangenciales:

Fe = m a

Fuerza elástica:

Fe = k x

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

k x = m a a = (k/m)·x

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a esta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico

En Cinemática el módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = x ω2 (Se ha suprimido el signo menos porque se trata de un módulo)

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica tiene que ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática, por tanto:

(k/m)·x = x ω2  k/m = ω2

Teniendo en cuenta que:

ω = 2π/T

tenemos que:

Ahora necesitamos conocer el valor de k, para lo cual acudiremos a la primera situación del problema, es decir:

F = m g k x = m g

k = m g/x = (0,11 kg·9,8 m/s2)/0,024 m = 44,9 N/m

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π rad/2π·0,134 s = (1/0,134) rad/s

Ecuación del movimiento armónico resultante:

x = 4 sen [(t/0,134) + (3π/2)] (x: cm, t: s)

 

 

 

Oscilador armónico simple 08

 

A un resorte de 40 cm de longitud, que cuelga del techo, se le engancha una masa de 50 g en su extremo libre y al alcanzarse el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se empuja la masa 4 cm por encima de la posición de equilibrio y se suelta, escribe la ecuación del m.a.s resultante.

 

 

Solución:

Datos: l0 = 40 cm; m = 50 g; l = 45 cm; A = 4 cm

Ecuación del movimiento:

y = A sen (ω t + φ0)

Cálculo de la fase inicial:

Cuando t = 0, y = A, luego:

A = A sen φ0 sen φ0 = A/A = 1→ φ0 = (π/2) rad 

No se consideran las repeticiones porque en la situación inicial k = 0 (No confundir con la constante elástica del muelle)

Cálculo de la fase angular (ω)

Fuerzas que actúan en la posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, por tanto:

Fe = m g → k d = m g → k = m g/d

Llevamos el bloque a una distancia d1 por encima de la posición de equilibrio y soltamos:

En la posición de equilibrio el muelle está estirado una distancia d = 5 cm (d = l – l0 = 45 cm – 40 cm), por tanto si se empuja el bloque una distancia d1 = 4 cm (Amplitud) por encima de la posición de equilibrio, el muelle todavía estará estirado una distancia de 1 cm, pero no podrá vencer al peso del bloque, por tanto:

m g – Fe = m a → m g – k (d – d1) = m a

Sustituyendo el valor de k obtenido en la situación de equilibrio:

m g – (m g/d )·(d – d1) = m a

m g – m g + (m g d1)/d = m a

(m g d1)/d = m a

a = (g d1)/d

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a ésta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico.

En Cinemática el módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = ω2 d1 (Se ha suprimido el signo menos porque se trata de un módulo)

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica tiene que ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática:

(g d1/d) y = ω2 d1

ω2 = g/d

Ecuación del movimiento armónico resultante:

y = 4 sen [14 t + (π/2)] (y: cm, t: s)

 

 

 

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