Dinámica del movimiento circular 17

 

Para el péndulo cónico de la figura calcula la velocidad angular y el ángulo que forma la cuerda con la vertical, sabiendo que la tensión de ésta es igual al doble del peso de la bola.

 

 

Solución:

Datos: L; m; T = 2 m g

Fuerzas que actúan sobre la bola:

Descomposición de T:

Las líneas del mismo color son paralelas y por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la figura anterior:

T sen φ = m aN

2 m g sen φ = m (v2/R)

2 g sen φ = (ω R)2/R

2 g sen φ = ω2 R

ω2 = 2 g sen φ/R

Radio de curvatura:

sen φ = R/L → R = L sen φ

ω2 = 2 g sen φ/L sen φ

ω2 = 2 g/L

Dimensionalmente:

Para saber el ángulo que forma la cuerda con la vertical utilizaremos la siguiente expresión, obtenida en la figura de las fuerzas que actúan sobre la bola:

T cos φ – m g = 0

 2 m g cos φ = m g

2 cos φ = 1

cos φ = 1/2

φ = 60º

 

 

Dinámica del movimiento circular 16

 

El bloque de la figura está unido a una barra vertical mediante dos cuerdas de longitudes L1 = 1 m, L2 = 0,8 m que se tensan al girar el sistema alrededor de la barra vertical. Determina la velocidad de rotación necesaria, para que la tensión de la cuerda horizontal sea igual al peso del bloque.

Comprueba dimensionalmente el resultado.

 

 

Solución:

Datos: L1 = 1 m; L2 = 0,8 m

Fuerzas que actúan sobre el bloque:

Descomposición de T1:

Aplicación:

Según la figura:

T1 sen φ = m g

T1 cos φ + T2 = m an T1 cos φ + T2 = m v2/R

Como R = L2 y T2 debe ser igual al peso del bloque, tenemos que:

T1 cos φ + m g = m v2/L2 T1 cos φ = (m v2/L2) – m g

Dividiendo miembro a miembro la primera ecuación y la última se tiene que:

T1 sen φ/T1 cos φ = m g/[(m v2/L2) – m g]

sen φ/cos φ = m g/[(m v2/L2) – m g]

tg φ = m g/[(m v2/L2) – m g]

(m v2/L2) – m g = m g/tg φ

m v2/L2= m g + (m g/tg φ)

m v2/L2= (m g tg φ + m g)/tg φ

m v2/L2= m g (tg φ + 1)/tg φ

v2/L2= g (tg φ + 1)/tg φ

(ω L2)2/L2= g (tg φ + 1)/tg φ

ω2 L2 = g (tg φ + 1)/tg φ

ω2 = g (tg φ + 1)/L2 tg φ

Según la figura y teniendo en cuenta la última expresión, tenemos que:

Dimensionalmente:

Nota: En la ecuación de dimensiones T es el tiempo y L es la longitud.

 

 

 

Dinámica del movimiento circular 15

 

¿Cuál ha de ser la velocidad angular del montaje de la figura para que la tensión en la cuerda superior sea de 15 kgf? ¿Cuál será entonces la de la cuerda inferior? Expresa la velocidad angular en vueltas por minuto.

 

 

Solución:

Datos: L1 = L2 = 1,5 m; m = 5 kg; h = 2,4 m; T1 = 15 kgf (kp) = 147 N

Fuerzas:

Descomposición 1:

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Descomposición 2:

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

Aplicación:

Según la figura:

T1 cos φ = T2 cos φ + m g → T2 cos φ = T1 cos φ – m g

T2 = T1 – m g/cos φ

T1 sen φ + T2 sen φ = m an T1 sen φ + T2 sen φ = m v2/R

T1 sen φ + T2 sen φ = m (ω R)2/R → T1 sen φ + T2 sen φ = m ω2 R

Radio de la curva:

R = L sen φ

Sustituyendo en la última expresión tenemos que:

T1 sen φ + T2 sen φ = m ω2 L sen φ → T1 + T2 = m ω2 L 

Pero, según hemos visto anteriormente:

T2 = T1 – m g/cos φ

Luego:

T1 + (T1 – m g/cos φ) = m ω2 L 

2 T1  (m g/cos φ) = m ω2 L

 

Ángulo φ:

cos φ = 1,2/1,5

ω = (4,04 rad/s)·(v/2πr·(60s/min) = 38,6 v/min

Dimensionalmente:

 

Tensión en la segunda cuerda:

T2 = 147 N – [8 kg·(9,8 m/s2)·1,5 m]/1,2 m

T2 = 147 N – [117,6 kg·(m/s2)·m/1,2 m] = 147 N – 98 N = 49 N

 

 

 

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