Dos planos inclinados 05

 

Dos masas de m1 y m2 están atadas a los extremos de un hilo y descansan sobre sendos planos inclinados como se muestra en la figura. Si los coeficientes de rozamiento de cada bloque con su respectivo plano son μ1 y μ2, calcula la aceleración del sistema y la tensión del hilo cuando se dejen en libertad.

Datos:

Bloque 1: m1 = 5 kg, α = 30º, μ1 = 0,1. Bloque 2: m2 = 10 kg, β = 45º, μ2 = 0,2

Tomad g = 10 m/s2

 

 

Solución:

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.  

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g sen α = 5 kg·(10 m/s2)· sen 30º = 25 N

T2 = m2 g sen β = 10 kg·(10 m/s2)·sen 45º = 70,7 N

Como T2 > T1, al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.  

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N1 – P1 cos α N1 = m1 g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – P1 sen α – Fr,1 = m1 a  T – m1 g sen α – Fr,1 = m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr,1 = μ1 N1 = μ1 m1 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

T – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α = m1 a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N2 – P2 cos β = 0 N2 = m2 g cos β

Fuerzas tangenciales:

P2 sen β – Fr,2 – T = m2 a m2 g sen β – Fr,2 – T = m2 a

Fuerza de rozamiento:

Fr,2 = μ2 N2 = μ2 m2 g cos β

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – T = m2 a

Ahora despejaremos la tensión (T) en última expresión del bloque 1 y sustituiremos en la del bloque 2.

T = m1 g sen α + μ1 m1 g cos α + m1 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – (m1 g sen α + μ1 m1 g cos α + m1 a) = m2 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α – m1 a = m2 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α = m1 a + m2 a

(sen β – μ2 cos β) m2 g – (sen α + μ1 cos α) m1 g = (m1 + m2) a

a = [(sen β – μ2 cos β) m2 – (sen α + μ1 cos α) m1] g /(m1 + m2)

a = [(sen 45º – 0,2 cos 45º)·10 kg – (sen 30º + 0,1·cos 30º)·5 kg]·(10 m/s2)/(5 + 10) kg

a = 1,8 m/s2

Para hallar la tensión sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las expresiones de las fuerzas tangenciales, por ejemplo en la del bloque 1.

T = [(sen α + μ1 cos α) g + a] m1

T = [(sen 30º + 0,1·cos 30º)·10 m/s2 + 1,8 m/s2]· 5 kg = 38,3 N

 

 

 

Dos planos inclinados 04

 

En el sistema de la figura los bloques tienen igual masa y el ángulo a es mayor que el b. Determina la  aceleración de los bloques y tensión de la cuerda. Expresa los resultados en función de a, b y k. 

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2 = m; k; α>β

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T1 = m g cos α

T2 = m g cos β

Como T2 > T1, ya que cos β > cos α (0 < β < α), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj. 

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son paralelas entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N1 – m g sen α = 0 → N1 = m g sen α 

Fuerzas tangenciales:

T – m g cos α – Fr,1  = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr,1 = k N1 = k m g sen α 

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales tenemos que:

 T – m g cos α – k m g sen α = m a

T = m g cos α + k m g sen α + m a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son paralelas entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N2 – m g sen β = 0 → N2 = m g sen β 

Fuerzas tangenciales:

–T + m g cos β – Fr,2  = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr,2 = k N2 = k m g sen β 

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales tenemos que:

 –T + m g cos β – k m g sen β = m a

T = m g cos β – k m g sen β – m a

Igualando las dos ecuaciones de las tensiones:

m g cos α + k m g sen α + m a = m g cos β – k m g sen β – m a

Simplificando:

g cos α + k g sen α + a = g cos β – k g sen β – a

2a = –g cos α – k g sen α + g cos β – k g sen β

2a = (cos β – cos α – k sen α – k sen β) g

a = (cos β – cos α – k sen α – k sen β) g/2

a = [(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k] g/2

Tomando cualquiera de las expresiones de la tensión, por ejemplo la primera, tenemos que:

T = m g cos α + k m g sen α + m {[(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k] g/2}

T = m g {cos α + k sen α + [(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k]/2}

T = m g [(2 cos α + 2 k sen α + cos β – cos α – k sen α – k sen β)/2]

T = m g [(cos α + k sen α + cos β – k sen β)/2]

T = m g {[(cos α + cos β) + ( sen α – sen β) k]/2}

 

 

 

Planos inclinado y horizontal 05

 

Un cuerpo lanzado con una velocidad inicial v0 a lo largo de un plano se para después de recorrer 6 m si el plano está inclinado 60º respecto a la horizontal, y después de recorrer 20 m si el plano está horizontal. Calcula v0 y el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano.

 

 

Solución:

Datos: α = 60º → x1 = 6 m; α’ = 0º → x2 = 20 m. En ambos casos v = 0

Ecuaciones del movimiento:

v = v0 – a t             x = v0 t – (1/2) a t2

De la ecuación de velocidad tenemos que:

0 = v0 – a t → a t = v0 → t = v0/a

Sustituyendo en la ecuación de posición:

x = v0(v0/a) – (1/2) a (v0/a)2

x = (v02/a) – (v02/2 a)= v02/2 a

v02 = 2 a x

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 1

Para poder resolver este problema necesitamos conocer el valor de la aceleración en ambos casos, pues el valor de x1 y x2 sí lo sabemos.

Primer caso. Plano inclinado:

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 13,1

Descomposición de fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 13,2

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α + Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α + μ m g cos α = m a

 g sen α + μ g cos α = a

a = g (sen α + μ cos α)

Pero ahora nos falta saber el coeficiente de rozamiento.

Segundo caso. Plano horizontal:

Fuerzas que intervienen:

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 2

Fuerzas normales:

N’ – m g = 0 → N’ = mg

Fuerzas tangenciales:

F’r = m a’

Fuerza de rozamiento:

F’r = μ N’ = μ m g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

μ m g = m a’ → a’ = μ g

Pero ahora, también nos falta saber el coeficiente de rozamiento.

Veamos las ecuaciones que tenemos  y si se pueden resolver.

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 3

a = g (sen α + μ cos α)

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 4

a’ = μ g

         De las expresiones de las velocidades iniciales tenemos que:

2x1 a = 2x2 a’ → x1 a = x2 a’

x1 g (sen α + μ cos α) = x2 μ g

x1 (sen α + μ cos α) = x2 μ

x1 sen α + x1 μ cos α = x2 μ

x1 sen α = x2 μ – x1 μ cos α

(x2 – x1 cos α) μ = x1 sen α

μ = x1 sen α/(x2 – x1 cos α)

μ = 6 m·sen 60º/(20 m – 6 m cos 60º) = 0,3

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 5

 

 

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