Plano inclinado con rozamiento 16

 

Un cuerpo reposa sobre un plano inclinado de ángulo variable. Se observa que empieza a deslizar cuando la inclinación del plano es de 17º. Calcula la aceleración del bloque, si la inclinación del plano fuera de 30º.

 

 

Solución:

Datos: α1 = 17º; α2 = 30º

Veamos la aceleración con la que bajaría un bloque, por un plano inclinado con rozamiento.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCL CON ROZAM 10, 1

Descomposición de fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCL CON ROZAM 10, 2

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

a = g sen αμ g cos α

a = g (sen αμ cos α)

Aplicando la fórmula obtenida a cada una de las situaciones que da el enunciado se obtiene el siguiente sistema:

0 = g (sen α1μ cos α1)

a = g (sen α2μ cos α2)

La inclinación α1 = 17º,  corresponde al caso crítico: el bloque está quieto (a = 0) a punto de deslizar. Para una inclinación α1 = 30º, el bloque ya baja con aceleración a.

sen α1 – μ cos α1 = 0 μ cos α1 = sen α1 μ = sen α1/cos α1

μ = tg α1

a = g (sen α2 – tg α1·cos α2)

a = (9,8 m/s2)·(sen 30º – tg 17º·cos 30º) = 2,3 m/s2

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 15

 

Un cuerpo en reposo sobre un plano inclinado de ángulo variable, empieza a deslizar cuando la inclinación es de 10º. Determina el coeficiente de rozamiento entre bloque y plano.

 

 

Solución:

Dato: α = 10º

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 15,1

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 15,2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Supongamos que la inclinación del plano es tal, que el bloque permanece quieto.

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 15,3

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = 0 m g sen α = Fr

La fuerza de rozamiento necesaria para sujetar el bloque aumenta al aumentar la inclinación del plano, se llegará así a un valor crítico de α para el cual la fuerza de rozamiento será la máxima posible. Si la inclinación del plano supera este valor crítico el bloque se moverá.

m g sen α = Fr (maxima)

m g sen α = μ N

m g sen α = μ m g cos α

sen α = μ cos α

μ = sen α/cos α = tg α

μ = tg 10º = 0,18

También se puede hacer de la siguiente forma:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

a = g sen αμ g cos α

a = g (sen αμ cos α)

La aceleración del bloque disminuye al disminuir la inclinación del plano, se llegará así a un valor crítico de α para el cual la aceleración es cero. Esta aceleración nula marca la transición entre movimiento (aceleración positiva) y reposo (aceleración negativa)

0 = g (sen α – μ cos α) sen α – μ cos α = 0

μ cos α = sen α μ = sen α/cos α μ = tg α

μ = tg 10º = 0,18

 

 

 

Plano inclinado con rozamiento 14

 

Se abandona un bloque en un plano inclinado 10º sobre la horizontal. Determina la aceleración que adquiere siendo el coeficiente de rozamiento:

a)  μ = 0

b)  μ = 0,1

c)  μ = 0,2

d)  ¿Cuál sería el mayor coeficiente de rozamiento posible que permitiría bajar al bloque?

 

 

Solución:

Datos: m = 5 kg; α = 10º

Fuerzas que intervienen:

Un bloque de masa m, abandonado en un plano inclinado cuyo ángulo es α, siendo μ el coeficiente de rozamiento, únicamente tiene la posibilidad de bajar, luego el sentido de la aceleración es hacia abajo y, por tanto, la fuerza de rozamiento irá hacia arriba.

PLANO INCL CON ROZAM 10, 1

Descomposición de fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCL CON ROZAM 10, 2

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

a = g sen αμ g cos α

a = g (sen αμ cos α)

a)  Dato: μ = 0

a = (9,8 m/s2)·(sen 10º – 0·cos 10º) = 1,7 m/s2

El bloque bajará con una aceleración de 1,7 m/s2

b)  Dato: μ = 0,1 

a = (9,8 m/s2)·(sen 10º – 0,1·cos 10º) = 0,74 m/s2

El bloque bajará con una aceleración de 0,74 m/s2

c)  Dato: μ = 0,2

a = (9,8 m/s2)·(sen 10º – 0,2·cos 10º) = –0,23 m/s2

Un  valor negativo del módulo de la aceleración no tiene sentido, por tanto el bloque no se moverá porque la fuerza de rozamiento se lo impide, luego su aceleración es cero.

d)  Según los apartados anteriores, al aumentar el coeficiente de rozamiento disminuye la aceleración de bajada e incluso puede ocurrir que el bloque no se mueva.

Además, hemos visto que si el bloque se mueve la aceleración es positiva y si está quieto la aceleración es negativa, así que la transición entre moverse o estar parado corresponderá al caso en que la aceleración sea cero:

0 = g (sen α – μ cos α) sen α – μ cos α = 0

μ cos α = sen α μ = sen α/cos α μ = tg α

μ = tg 10º = 0,18

 

 

 

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