Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 05

 

Dejamos caer desde un punto situado a 10 m de altura una piedra de 100 g. Calcula la velocidad que tendrá cuando esté a 4 m del suelo.

 

 

Solución:

Datos: h0 = 10 m; v0 = 0; m = 100 g; h1 = 4 m;  g = 9,8 m/s2

Principio de conservación de la energía:

Wpeso = Ec + Ep

Durante la bajada la piedra únicamente está sometida a su peso, cuyo trabajo ya está incluido en la variación de la energía potencial, luego: ∑Wpeso = 0.

Cambios de energía.

Energía cinética inicial:

Ec0 = (1/2) m v02

Energía cinética final:

Ec1 = (1/2) m v12

Variación de la energía cinética:

Ec = Ec1 – Ec0 = (1/2) m v12 – (1/2) m v02

Energía potencial inicial:

Ep0 = m g h0

Energía potencial final:

Ep1 = m g h1

Variación de la energía potencial:

Ep = Ep1 – Ep0 = m g h1 – m g h0

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación tenemos que:

0 = (1/2) m v12 – (1/2) m v02 + m g h1 – m g h0

Dividiendo por m y multiplicando por dos:

0 = v12 – v02 + 2 g h1 – 2 g h0

Como v0 = 0:

0 = v12 – 0 + 2 g h1 – 2 g h0

v12 = 2 g h0 – 2 g h1

v12 = 2 g (h0 – h1)

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 18

 

Desde el punto más alto de una rampa de 60 m de longitud y 10º de inclinación se lanza hacia abajo un bloque a 5 m/s. Siendo el coeficiente de rozamiento entre bloque y superficie 0,2. Calcula la velocidad con que llegará al final de la rampa.

 

 

Solución:

Datos: L = 60 m; α = 10º; v0 = 5 m/s; μ = 0,2

Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

 

Calculo del trabajo.

ΣW = Wmg + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Wr = –µ m g L cos α

Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cambios de energía.

Estado inicial:

v1 = v0                   h1 = h

Estado final:

v2 = v          h2 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – (1/2) m v02

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

sen α = h/L → h = L sen α

ΔEp = –m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g L cos α = (1/2) m v2 – (1/2) m v02 – m g L sen α

–2 µ g L cos α = v2 – v02 – 2 g L sen α

v2 = v02 + 2 g L sen α – 2 µ g L cos α

La solución imaginaria indica que no puede darse la situación planteada, es decir, el bloque no llega al final de la rampa… ¿Cómo puede ocurrir esto?

Se puede observar que tg 10º = 0,18, mientras que μ = 0,2; o sea, hay poca pendiente para tanto rozamiento. Esto implica que si se abandonase el bloque en lo alto de la rampa no empezaría a bajar, pero como se impulsa hacia abajo, el bloque baja frenando y se detiene antes de llegar al final de la rampa.

Para averiguar la distancia que recorre por la rampa bastará con hacer v = 0 en la expresión obtenida:


0 = v02 + 2 g L (sen α – μ cos α)

2 g L (sen α – μ cos α) = –v02

L = –v02/2 g (sen α – μ cos α)

L = –(5 m/s)2/2·(9,8 m/s2)·(sen 10º – 0,2·cos 10º= 54,7 m 

 

 

 

Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 17 (2ª parte)

 

Por Energía:

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida el bloque está sometido a la fuerza F, a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

SW = Wmg + WF + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Pero, según ya hemos visto, Fr = μ N = μ (m g cos α – F cos α) luego:

Wr = –μ (m g cos α – F cos α) L

Trabajo realizado por la fuerza F:

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

WF = F L sen α

Por tanto.

SW = F L sen α – µ (m g cos α – F cos α) L

Cambios de energía.

Estado  inicial:

El bloque sube por la rampa y llega al final con velocidad v.

vin = v0 = 0             hin = 0

Estado final:

vfin = v                   hfin = h

ΔEc =  (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = m g h – 0 = m g h

sen α = h/L → h = L sen α

  ΔEp = m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

F L sen α – µ (m g cos α – F cos α) L = (1/2) m v2 + m g L sen α

 (1/2) m v2 = F L sen α – µ (m g cos α – F cos α) L – m g L sen α

(1/2) m v2 = L [F sen α – µ (m g cos α – F cos α) – m g sen α]

(1/2) m v2 = L [(F – m g) sen α – µ (m g cos α – F cos α)]

v2 = {2 L [(F – m g) sen α – µ (m g cos α – F cos α)] }/m

         Como ya se ha dicho anteriormente, podemos saber si la expresión hallada es correcta mediante la ecuación de dimensiones.

         Luego si es correcta.


 

 

 

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