Fuerza elástica 06

 

La longitud de un muelle es de 80 cm cuando aplicamos una fuerza de 98 N y aumenta a 90 cm cuando la fuerza vale 140 N. Calcula la constante elástica del muelle y su longitud cuando no se aplica ninguna fuerza.

 

 

Solución:

Datos: x1 = 80 cm; F1 = 98 N; x2 = 90 cm; F2 = 140 N

Ley de Hooke:

F = k (x1 – x0) = k Δx

Aplicación:

F1 = k (x1 – x0) k = F1/(x1 – x0)

F2 = k (x2 – x0) k = F2/(x2 – x0)

F1/(x1 – x0) = F2/(x2 – x0)

F1 (x2 – x0) = F2 (x1 – x0)

F1 x2 – F1 x0 = F2 x1 – F2 x0

F2 x0 – F1 x0 = F2 x1 – F1 x2

(F2 – F1) x0 = (F2 x1 – F1 x2)

x0 = (F2 x1 – F1 x2)/(F2 – F1)

x0 = (140 N·80 cm – 98 N·90 cm)/(140 N – 98 N)

x0 = 57 cm

Utilizando cualquiera de las ecuaciones donde se ha despajado k, tenemos que:

k = 98 N/(0,80 cm – 0,57 cm) = 426 N/m

 

 

 

Fuerza elástica 05

 

Con una fuerza de 10 N logramos aumentar la longitud inicial de un muelle que era de 10 cm en un 20% ¿Qué fuerza es necesario aplicar para hacer doble la longitud inicial del muelle?

 

 

Solución:

Datos: F1 = 10 N → Δx1 = 10·0,20 cm = 2 cm; Δx2 = 10 cm

Ley de Hooke:

F = k (x1 – x0) = k Δx

Si F2 es la fuerza que es necesario aplicar, tenemos que:

F2 = k Δx2

Para poder resolver el problema necesitamos conocer el valor de la constante elástica k.

F1 = k Δx1 k = F1/Δx1

k = 10 N/2 cm = 5 N/cm

F2 = (5 N/cm)·10 cm = 50 N

 

 

 

Conservación del momento lineal 17

 

Un proyectil de 3 kg de masa se mueve horizontalmente a una velocidad de 200 m/s. En un momento dado explota en tres fragmentos. Uno de ellos de 0,5 kg se mueve horizontalmente en el mismo sentido del proyectil inicial a una velocidad de 100 km/h. Otro de 1 kg es despedido perpendicularmente al anterior a velocidad de 150 km/h. Calcula la velocidad del tercer fragmento y el ángulo que forma con la horizontal.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: M = 3 kg; v = 200 m/s; m1 = 0,5 kg; v1 = 27,8 m/s; m2 = 1 kg; v2 = 41,7 m/s; m3 = 1,5 kg

Momento lineal antes de la explosión:

P = M v = M (v i + 0 j) = M v i + 0 j

Momento lineal después de la explosión:

Momento lineal:

P’ = P1 + P2 + P3

Se han supuesto la dirección y el sentido de v3.

Siendo:

P1 = m1 v1 = m1 v1 ( i + 0 j) = m1 v1 i + 0 j

P2 = m2 v2 = m2 v2 (0 i + j) = 0 i + m2 v2 j

P3 = m3 v3 = m3 (–v3,x i – v3,y j) = –m3 v3,x i + m3 v3,y j

P’ = m1 v1 i + m2 v2 j – m3 v3,x i + m3 v3,y j

P’ = (m1 v1 – m3 v3,x) i + (m2 v2 j + m3 v3,y j)

Conservación del momento lineal:

El sistema no está aislado porque sobre el proyectil y sus fragmentos actúa la fuerza peso (exterior). Pero ocurre que el peso es despreciable en comparación con las fuerzas internas de la explosión, así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura la explosión y el momento lineal se conserva. Por tanto:

P = P’

M v i + 0 j = (m1 v1 – m3 v3,x) i + (m2 v2 j + m3 v3,y j)

Luego:

M v = m1 v1 – m3 v3,x                  0 = m2 v2 + m3 v3,y

m3 v3,x = m1 v1 – M v → v3,x = (m1 v1 – M v)/m3

m3 v3,y = m2 v2 → v3,y = (m2/m3) v2

v3,x = [0,5 kg·(27,8 m/s) – 3 kg·(200 m/s)]/1,5 kg = –390,7 m/s

v3,y = (1 kg/1,5 kg)·41,7 m/s = 27,8 m/s

El signo negativo del valor de la componente v3,x, indica que se encuentra en sentido opuesto al supuesto, es decir, en sentido positivo del eje X, o sea, que el vector v3 está en el cuarto cuadrante.

Ángulo que forma con la horizontal:

El vector v3 forma un ángulo de 4,1º por debajo de la horizontal. 

 

 

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