El Sapo Sabio

 

Un cuerpo reposa sobre un plano inclinado de ángulo variable. Se observa que empieza a deslizar cuando la inclinación del plano es de 37º. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento entre bloque y plano? ¿Cuál sería la aceleración del bloque si el ángulo fuera de 45º?

 

 

Solución:

Datos: α = 37º; α’ = 45º

Veamos la aceleración con la que bajaría un bloque, por un plano inclinado con rozamiento.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α – μ m g cos α = m a

a = g sen α – μ g cos α

a = g (sen α – μ cos α)

Aplicando la fórmula obtenida a cada una de las situaciones que da el enunciado se obtiene el siguiente sistema:

0 = g (sen α – μ cos α)

a = g (sen α’ – μ cos α’)

La inclinación α = 37º,  corresponde al caso crítico: el bloque está quieto (a = 0) a punto de deslizar. Para una inclinación α’ = 45º, el bloque ya baja con aceleración a.

sen α – μ cos α = 0 → μ cos α = sen α → μ = sen α/cos α

μ = tg α = tg 37º = 0,75

a = g (sen α’ – tg α·cos α’)

a = (9,8 m/s²)·(sen 45º – tg 37º·cos 45º) = 1,71 m/s²