Plano inclinado con rozamiento 22

 

Se abandona un cuerpo en un plano inclinado. Siendo el coeficiente de rozamiento con el plano 0,2; calcula la aceleración que tomará suponiendo que el ángulo del plano es:

a)  10º

b)  20º

c)  30º

d)  ¿Cuál será la menor inclinación posible que permita bajar al bloque?

 

 

Solución:

Dato: μ = 0,2

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 22,1

Sentido del movimiento:

Según la figura, un bloque de masa m, abandonado en un plano inclinado cuyo ángulo es α, siendo μ el coeficiente de rozamiento, únicamente tiene la posibilidad de bajar, luego el sentido de la aceleración es hacia abajo y, por tanto, la fuerza de rozamiento irá hacia arriba.

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 15,2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 22,2

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α – μ m g cos α = m a

g sen α – μ g cos α = a

a = g (sen α – μ cos α)

a)  Dato: α = 10º

a = (9,8 m/s2)·(sen 10º – 0,2·cos 10º) = –0,23 m/s2

Un  valor negativo del módulo de la aceleración no tiene sentido, por tanto el bloque no se moverá porque la fuerza de rozamiento se lo impide, luego su aceleración es cero.

b)  Dato: α = 20º

a = (9,8 m/s2)·(sen 20º – 0,2·cos 20º) = 1,51 m/s2

El bloque bajará con una aceleración de 1,51 m/s2

c)  Dato: α = 30º

a = (9,8 m/s2)·(sen 30º – 0,2·cos 30º) = 3,20 m/s2

El bloque bajará con una aceleración de 3,20 m/s2

d)  Según los apartados anteriores, al disminuir la inclinación del plano disminuye la aceleración de bajada e incluso puede ocurrir que el bloque no se mueva.

Además, hemos visto que si el bloque se mueve la aceleración es positiva y si está quieto la aceleración es negativa, así que la transición entre moverse o estar parado corresponderá al caso en que la aceleración sea cero:

0 = g (sen α – μ cos α) sen α – μ cos α = 0

μ cos α = sen α μ = sen α/cos α = tg α

α = arc tg μ = arc tg 0,2

Primera solución:

α = 11,3º

Segunda solución:

α = 11,3º + 180º = 191,3º

Esta solución no sirve.

La menor inclinación posible que permita bajar al bloque es 11,3º

 

 

 

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