El Sapo Sabio

 

Se aplica a un bloque de 10 kg, situado en un plano inclinado 30º, una fuerza paralela al plano hacia arriba. Siendo el coeficiente de rozamiento 0,1, calcula la aceleración que tomará el bloque cuando la fuerza valga:

a)  60 N

b)  30 N

c)  50 N

 

 

Solución:

Datos: m = 10 kg; α = 30º; μ = 0,1

a)  Dato: F = 60 N

Sentido del movimiento:

La fuerza F (60 N) es mayor que m g sen α (49 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia arriba y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia arriba, el bloque comenzará a subir, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia abajo.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F – m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F – m g sen α – μ m g cos α = m a

a = (F – m g sen α – μ m g cos α)/m

a = [F – m g (sen α + μ cos α)]/m

a = [60 N – 10 kg·(9,8 m/s²)·(sen 30º + 0,1 cos 30º)/10 kg = 0,25 m/s²

Efectivamente el bloque subirá con una aceleración de 0,25 m/s²

b)  Dato: F = 30 N

Sentido del movimiento:

La fuerza F(30 N) es menor que m g sen α (49 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia abajo y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia abajo, el bloque comenzará a bajar, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia arriba.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

–F + m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

–F + m g sen α – μ m g cos α = m a

a = (–F + m g sen α – μ m g cos α)/m

a = [–F + m g (sen α – μ cos α)]/m

a = [–30 N + 10 kg·(9,8 m/s²)·(sen 30º – 0,1 cos 30º)/10 kg = 1,1 m/s²

Efectivamente el bloque bajará con una aceleración de 1,1 m/s²

c)  Dato: F = 50 N

Sentido del movimiento:

La fuerza F (50 N) es mayor que m g sen α (49 N), por tanto la fuerza útil se dirige hacia arriba y lo mismo le ocurre a la aceleración si la hubiera.

Si la aceleración va hacia arriba, el bloque comenzará a subir, luego el sentido de la fuerza de rozamiento es hacia abajo.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color, en la descomposición de fuerzas, son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Según la anterior figura:

Fuerzas  normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F – m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F – m g sen α – μ m g cos α = m a

a = (F – m g sen α – μ m g cos α)/m

a = [F – m g (sen α + μ cos α)]/m

a = [50 N – 10 kg·(9,8 m/s²)·(sen 30º + 0,1 cos 30º)/10 kg = –0,75 m/s²

El resultado negativo indica que el bloque no se moverá porque le sujeta el rozamiento, por tanto la aceleración será cero.

Comprobemos ésta afirmación:

La resultante de las fuerzas útiles era: 1 N (50 N – 49 N); para sujetar al bloque, el rozamiento tendría que hacer una fuerza de 1 N, ¿puede hacerla?

F_r = μ N = μ m g cos α = 0,1·10 kg·(9,8 m/s²)·cos 30º = 8,49 N

La máxima fuerza de rozamiento es de 8,49 N, luego sí puede contrarrestar el Newton necesario para sujetar al bloque.