Plano inclinado con rozamiento 17

 

Un bloque de masa m está en un plano inclinado de ángulo α. Determina la fuerza mínima, paralela al plano, que habría que aplicarle para sujetarlo, suponiendo el plano:

a)  Liso.

b)  Rugoso. (Coeficiente de rozamiento μ)

 

 

Solución:

Si no hay movimiento, ¿cómo se toman los ejes? Pues da lo mismo, tomemos los ejes que tomemos siempre se compensarán las componentes de todas las fuerzas. Por tanto tomaremos los ejes como siempre: paralelo y perpendicular al plano inclinado.

a)  Fuerzas que intervienen:  

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,1

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,2

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F – m g sen α = 0 F = m g sen α

Como sen α disminuye al disminuir el ángulo, cuanto menos inclinado esté el plano, menos fuerza será necesaria para sujetar el bloque y si el plano está horizontal no hará falta ninguna fuerza.

b)  La fuerza mínima corresponderá al caso en que la fuerza de rozamiento que sujeta al bloque sea máxima, es decir, Fr = μ N.

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,3

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 17,4

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

F + Fr – m g sen α = 0

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

F + μ m g cos α – m g sen α = 0

F = –μ m g cos α + m g sen α

F = m g (sen α μ cos α)

Obviamente hay valores de μ para los cuales la fuerza necesaria para sujetar el cuerpo es negativa, lo cual indica una situación imposible, ¿por qué?

Porque si el coeficiente de rozamiento es suficientemente grande, la fuerza de rozamiento podrá sujetar el bloque por si sola y no habrá que aplicar fuerza alguna para mantener el bloque inmóvil.

 

 

 

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