El Sapo Sabio

 

Un cuerpo reposa sobre un plano inclinado de ángulo variable. Se observa que empieza a deslizar cuando la inclinación del plano es de 17º. Calcula la aceleración del bloque, si la inclinación del plano fuera de 30º.

 

 

Solución:

Datos: α₁ = 17º; α₂ = 30º

Veamos la aceleración con la que bajaría un bloque, por un plano inclinado con rozamiento.

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α – F_r = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α – μ m g cos α = m a

a = g sen α – μ g cos α

a = g (sen α – μ cos α)

Aplicando la fórmula obtenida a cada una de las situaciones que da el enunciado se obtiene el siguiente sistema:

0 = g (sen α₁ – μ cos α₁)

a = g (sen α₂ – μ cos α₂)

La inclinación α₁ = 17º,  corresponde al caso crítico: el bloque está quieto (a = 0) a punto de deslizar. Para una inclinación α₁ = 30º, el bloque ya baja con aceleración a.

sen α₁ – μ cos α₁ = 0 → μ cos α₁ = sen α₁ → μ = sen α₁/cos α₁

μ = tg α₁

a = g (sen α₂ – tg α₁·cos α₂)

a = (9,8 m/s²)·(sen 30º – tg 17º·cos 30º) = 2,3 m/s²