El Sapo Sabio

 

Un cuerpo cae por un plano inclinado, deslizándose sin rozamiento. Determina la inclinación del plano sabiendo que el cuerpo tarda en llegar al suelo, el doble de lo que tardaría si cayera libremente desde el mismo punto de partida.

 

 

Solución:

El tiempo, t₁, que tarda el cuerpo en llegar al suelo en caída libre, es el doble que el tiempo, t₂, que tarda en bajar deslizándose por el plano inclinado, es decir: t₂ = 2 t₁. 

Tiempo invertido en la caída vertical:

Ecuación del movimiento:

y = 0 – (1/2) g t₁² → t₁² = –2 y/g

Cuando llega al suelo y = –h, sustituyendo en la expresión anterior:

Tiempo invertido en el descenso por el plano inclinado:

Tiempo invertido en el descenso por el plano inclinado:

Ecuación del movimiento:

x₂ = (1/2) a t₂²

Cuando llega al suelo, x₂ = L, siendo L la longitud el plano inclinado. Sustituyendo en la expresión anterior:

L = (1/2) a t₂² → t₂² = 2 L/a

Cálculo de la aceleración.

Fuerzas que intervienen:

Evidentemente, la única posibilidad de movimiento es que el bloque baje.     

Descomposición de las fuerzas:

Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Aplicación:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α = m a → g sen α = a

Sustituyendo  en la ecuación de t₂:

Evidentemente, los ángulos descartados no pueden ser los de un plano inclinado.