Dinámica del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 19
Sobre una superficie horizontal se lanza un cuerpo de 2 kg con una velocidad inicial de 5 m/s. El cuerpo se para debido al rozamiento después de recorrer 20 m. Calcula:
a) La aceleración.
b) El coeficiente de rozamiento.
c) La fuerza horizontal que debe aplicarse al cuerpo para que a los 20 m en lugar de pararse tenga una velocidad de 8 m/s.
Solución:
Datos: m = 2 kg; v0 = 5 m/s; v = 0; x = 20 m
a) Ecuaciones del movimiento:
v = v0 + a t → 0 = v0 + a t
x = v0 t + (1/2) a t2
De la expresión de la velocidad despejaremos el tiempo (t) y sustituiremos en la expresión de posición.
a t = –v0 → t = –v0/a
x = v0 (–v0/a) + (1/2) a (–v0/a)2
x = (–v02/a) + (v02/2a)
x = –v02/2a
a = –v02/2x
a = –(5 m/s)2/2·20 m = –0,625 m/s2
El signo negativo indica que la aceleración es de frenado.
b) Fuerzas que actúan sobre el cuerpo:
Fuerzas normales:
N – m g = 0 → N = m g
Fuerzas tangenciales:
Fr = m a
Fuerza de rozamiento:
Fr = μ N = μ m g
m a = μ m g
a = μ g
μ = a/g
μ = (0,625 m/s2)/(9,8 m/s2) =0,06
c) Datos: x = 20 m; v = 8 m/s
Fuerzas que intervienen:
Fuerzas normales:
N – m g = 0 → N = m g
Fuerzas tangenciales:
F – Fr = m a
Fuerza de rozamiento:
Fr = μ N = μ m g
Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:
F – μ m g = m a
F = μ m g + m a
F = (μ g + a)·m
Para poder averiguar el valor de la fuerza (F) necesitamos conocer la aceleración (a) que lleva el cuerpo, para lo cual acudiremos a Cinemática.
Ecuaciones del movimiento:
v = v0 + a t
x = v0 t + (1/2) a t2
De la expresión de la velocidad despejaremos el tiempo (t) y sustituiremos en la expresión de posición.
a t = v – v0 → t = (v – v0/a)
x = v0 (v – v0/a) + (1/2) a (v – v0/a)2
x = v0 (v – v0)/a + (v – v0)2/2a
x = 2v0 (v – v0)/2a + (v – v0)2/2a
x = [2v0 (v – v0) + (v – v0)2]/2a
x = (v – v0) [2v0 + (v – v0)]/2a
x = (v – v0) (2v0 + v – v0)/2a
x = (v – v0) (v0 + v)/2a
x = (v2 – v02)/2a
a = (v2 – v02)/2x
a = [(8 m/s)2 – (5 m/s)2]/2·20 m
a = 0,975 m/s2
F = 2 kg·[(0,975 m/s2) + (0,06·9,8 m/s2)] = 3,126 N