Período y frecuencia 09
Una partícula describe un m.a.s con trayectoria rectilínea. Cuando la elongación es nula, su velocidad es de 1 cm/s, mientras cuando la elongación es de 5 cm, su velocidad es nula. Halla el período de este movimiento.
Solución:
Datos: x1 = 0 → v1 = 1 cm/s; x2 = 5 cm → v2 = 0
Período (T):
ω = 2π/T → T = 2π/ω
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
De las expresiones de posición y velocidad tenemos que:
x = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = x/A
sen2 (ω t + φ0) = (x/A)2
v = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v/A ω
cos2 (ω t + φ0) = (v/A ω)2
sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (x/A)2 + (v/A ω)2
1 = (x/A)2 + (v/A ω)2
Aplicando a las dos condiciones del enunciado del problema se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A y ω:
(x1/A)2 + (v1/A ω)2 = 1
(x2/A)2 + (v2/A ω)2 = 1
Multiplicando todos los términos de cada ecuación por A2:
x12 + (v12/ω2) = A2
x22 + (v22/ω2) = A2
x12 + (v12/ω2) = x22 + (v22/ω2)
x12 – x22 = (v22/ω2) – (v12/ω2)
x12 – x22 = (v22 – v12 )/ω2
x12 – x22 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/ω2
ω2 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/( x12 – x22)