Período y frecuencia 09

 

Una partícula describe un m.a.s con trayectoria rectilínea. Cuando la elongación es nula, su velocidad es de 1 cm/s, mientras cuando la elongación es de 5 cm, su velocidad es nula. Halla el período de este movimiento.

 

 

Solución:

Datos: x1 = 0 → v1 = 1 cm/s; x2 = 5 cm → v2 = 0

Período (T):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

De las expresiones de posición y velocidad tenemos que:

x = A sen (ω t + φ0) sen (ω t + φ0) = x/A

sen2 (ω t + φ0) = (x/A)2

v = A ω cos (ω t + φ0) cos (ω t + φ0)  = v/A ω

cos2 (ω t + φ0) = (v/A ω)2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0)  = (x/A)2 + (v/A ω)2

1 = (x/A)2 + (v/A ω)2

Aplicando a las dos condiciones del enunciado del problema se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A y ω:

(x1/A)2 + (v1/A ω)2 = 1

(x2/A)2 + (v2/A ω)2 = 1

Multiplicando todos los términos de cada ecuación por A2:

x12 + (v12/ω2) = A2

x22 + (v22/ω2) = A2

x12 + (v12/ω2) = x22 + (v22/ω2)

x12 – x22 = (v22/ω2) – (v12/ω2

x12 – x22 = (v22 – v12 )/ω2 

x12 – x22 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/ω2 

ω2 = (v22 + v12 )·(v22 – v12 )/( x12 – x22)

PERIODO Y FRECUENCIA 09

 

 

 

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