El Sapo Sabio

 

Una partícula describe un m.a.s con trayectoria rectilínea. Cuando la elongación es nula, su velocidad es de 1 cm/s, mientras cuando la elongación es de 5 cm, su velocidad es nula. Halla el período de este movimiento.

 

 

Solución:

Datos: x₁ = 0 → v₁ = 1 cm/s; x₂ = 5 cm → v₂ = 0

Período (T):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

De las expresiones de posición y velocidad tenemos que:

x = A sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = x/A

sen² (ω t + φ₀) = (x/A)²

v = A ω cos (ω t + φ₀) → cos (ω t + φ₀)  = v/A ω

cos² (ω t + φ₀) = (v/A ω)²

sen² (ω t + φ₀) + cos² (ω t + φ₀)  = (x/A)² + (v/A ω)²

1 = (x/A)² + (v/A ω)²

Aplicando a las dos condiciones del enunciado del problema se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A y ω:

(x₁/A)² + (v₁/A ω)² = 1

(x₂/A)² + (v₂/A ω)² = 1

Multiplicando todos los términos de cada ecuación por A²:

x₁² + (v₁²/ω²) = A²

x₂² + (v₂²/ω²) = A²

x₁² + (v₁²/ω²) = x₂² + (v₂²/ω²)

x₁² – x₂² = (v₂²/ω²) – (v₁²/ω²) 

x₁² – x₂² = (v₂² – v₁² )/ω² 

x₁² – x₂² = (v₂² + v₁² )·(v₂² – v₁² )/ω² 

ω² = (v₂² + v₁² )·(v₂² – v₁² )/( x₁² – x₂²)