El Sapo Sabio

 

Calcula el período de un movimiento armónico simple, sabiendo que la amplitud es de 1 m y la elongación al cabo de 3/4 de segundo es de 1/2 m, después de haber dado 2 oscilaciones completas.

 

 

Solución:

Datos: A = 1 m; t = 3/4 s → x = ½ m; φ₀ = 0

Período de un movimiento armónico (T):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t)

v = A ω cos (ω t)

a = –A ω² sen (ω t)

De la ecuación de posición tenemos que:

sen (ω t) = x/A → ω t = arc sen (x/A)

Si t = 3/4 s:

ω t = arc sen (0,5 m/1 m) = arc sen 0,5 rad

Primera solución:

ω t = [(π/6) + 2k π] rad 

Dos oscilaciones completas → k = 2, luego:

ω t = [(π/6) + 4π] rad

ω = [(π/6) + 4π] rad/(3/4) s

ω = (25/6)π rad/(3/4) s = (100π/18) (rad/s) =  (50π/9) (rad/s)

Segunda solución:

ω t = [(2π/3) + 4π] rad 

ω = [(2π/3) + 4π] rad/(3/4) s

ω = (14/3)π rad/(3/4) s = (56π/9) (rad/s)

Para saber cuál es el resultado correcto debemos tener en cuenta que después de dos oscilaciones completas, partiendo desde el origen, el sentido de la velocidad es hacia la derecha, es decir positiva.

Según la primera solución:

cos [(50π/9)·(3/4)] rad = cos (25π/6) rad > 0

Según la segunda solución:

cos [(56π/9)·(3/4)] rad = cos (14π/3) rad < 0

Luego la solución correcta es la primera, por tanto:

T = 2π/(50π/9)·(rad/s) = 9/25 s = 0,36 s