Período y frecuencia 05

 

Una partícula inicia un m.a.s en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1 s en llegar al centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es 0,2 cm, calcula:

a)  Período.

b)  Posición de la partícula 1 s después de iniciar su movimiento.

 

 

Solución:

Dato: A = 0,2 cm

a)  Período del movimiento (T):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

Ecuación de posición:

x = A sen (ω t + φ0)

Empezaremos determinando la fase inicial (φ0):

Cuando la partícula se encuentra en el extremo derecho, t0 = 0 y x0 = A, luego:

A = A sen (ω·0 + φ0) → sen φ0 = (A/A) = 1

φ0 = arc sen 1 = π/2 rad

Era evidente el resultado obtenido.

Ahora hallaremos la frecuencia angular (ω):

Cuando la partícula se encuentra en el origen en la primera oscilación, k = 0, t1 = 0,1 s y x1 = 0, luego:

0 = A sen (ω t1 + φ0) → sen (ω t1 + φ0) = (0/A) = 0

Como estamos considerando el paso en la primera oscilación, es decir: k = 0, tenemos que:

Primera solución:

ω t1 + (π/2) = 0 + 0·2π

ω t1  = (–π/2)/t1 (No)

Segunda solución:

ω t1 + (π/2) = π + 0·2π

ω = [π – (π/2)]/t1 = π/2t1

Era predecible el resultado que se iba a obtener.

T = 2π/(π/2t1)

T = 4t1 = 4·0,1 s = 0,4 s

Evidentemente, se tarda un cuarto de período en ir de un extremo al centro, luego el período será 0,4 s.

También se podía haber hecho mediante el siguiente razonamiento:

Si la partícula tarda 0,1 s en ir del extremo derecho al centro, tardará el mismo tiempo en llegar al otro extremo, es decir, 0,2 s en ir de extremo a extremo y por tanto otros 0,2 s en volver, luego el período del movimiento es 0,4 s.

b)  Datos: A = 0,2 cm; t = 1 s; φ0 = π/2 rad

Ecuación de posición:

x = A sen (ω t +  φ0)

Frecuencia angular (ω):

ω = 2π/T = 2π rad/0,4 s = 5π rad/s

x = 0,2 cm·sen [(5π rad/s)·0,1 s + (π/2) rad] = –0,2 cm

La particular se encuentra en el extremo izquierdo de la trayectoria.

Resultado lógico: Un segundo son dos períodos y medio; en dos períodos vuelve a estar en el extremo derecho y en medio período más llega al extremo izquierdo.

 

 


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