El Sapo Sabio

 

Una partícula inicia un m.a.s en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1 s en llegar al centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es 0,2 cm, calcula:

a)  Período.

b)  Posición de la partícula 1 s después de iniciar su movimiento.

 

 

Solución:

Dato: A = 0,2 cm

a)  Período del movimiento (T):

ω = 2π/T → T = 2π/ω

Ecuación de posición:

x = A sen (ω t + φ₀)

Empezaremos determinando la fase inicial (φ₀):

Cuando la partícula se encuentra en el extremo derecho, t₀ = 0 y x₀ = A, luego:

A = A sen (ω·0 + φ₀) → sen φ₀ = (A/A) = 1

φ₀ = arc sen 1 = π/2 rad

Era evidente el resultado obtenido.

Ahora hallaremos la frecuencia angular (ω):

Cuando la partícula se encuentra en el origen en la primera oscilación, k = 0, t₁ = 0,1 s y x₁ = 0, luego:

0 = A sen (ω t₁ + φ₀) → sen (ω t₁ + φ₀) = (0/A) = 0

Como estamos considerando el paso en la primera oscilación, es decir: k = 0, tenemos que:

Primera solución:

ω t₁ + (π/2) = 0 + 0·2π

ω t₁  = (–π/2)/t₁ (No)

Segunda solución:

ω t₁ + (π/2) = π + 0·2π

ω = [π – (π/2)]/t₁ = π/2t₁

Era predecible el resultado que se iba a obtener.

T = 2π/(π/2t₁)

T = 4t₁ = 4·0,1 s = 0,4 s

Evidentemente, se tarda un cuarto de período en ir de un extremo al centro, luego el período será 0,4 s.

También se podía haber hecho mediante el siguiente razonamiento:

Si la partícula tarda 0,1 s en ir del extremo derecho al centro, tardará el mismo tiempo en llegar al otro extremo, es decir, 0,2 s en ir de extremo a extremo y por tanto otros 0,2 s en volver, luego el período del movimiento es 0,4 s.

b)  Datos: A = 0,2 cm; t = 1 s; φ₀ = π/2 rad

Ecuación de posición:

x = A sen (ω t +  φ₀)

Frecuencia angular (ω):

ω = 2π/T = 2π rad/0,4 s = 5π rad/s

x = 0,2 cm·sen [(5π rad/s)·0,1 s + (π/2) rad] = –0,2 cm

La particular se encuentra en el extremo izquierdo de la trayectoria.

Resultado lógico: Un segundo son dos períodos y medio; en dos períodos vuelve a estar en el extremo derecho y en medio período más llega al extremo izquierdo.