Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 11

 

Un objeto colgado de un muelle describe un m.a.s de amplitud 10 cm y período 0,1 s. En el instante inicial el muelle está estirado, ocupando el objeto la posición más baja en su oscilación.

a)  Determina la ecuación del movimiento.

b)  Encuentra la posición que ocupará el objeto transcurridos 10 s desde que se inició la oscilación.

c)  Calcula la velocidad y la aceleración en ese instante.

d)  Demuestra que la máxima velocidad se alcanza cuando el móvil pasa por la posición de equilibrio.

 

 

Solución:

Datos: y0 = 10 cm; T = 0,1 s

PLANTEAMINETO EC MAS 11,0

a)  Ecuación del movimiento:

y = y0 sen (ω t + φ0)

Para hallar la ecuación del movimiento nos falta saber el valor de ω y de φ0.

ω = 2π/T = 2π rad/0,1 s = 20π rad/s

Si t = 0 entonces y = –y0, por tanto:

 –y0 = y0 sen (ω·0 + φ0)

sen φ0 = –1 → φ0 = arcs en (–1) = 3π/2 rad

y = 10 sen [20π t + (3π/2)], (y: cm, t: s)

b)  Dato: t = 10 s

y = 10 sen [(20π rad/s)·10 s + (3π/2) rad]

y = 10 sen (3π/2) rad = –10 cm

El resultado era previsible pues como el período es 0,1 en 10 segundos el objeto habrá dado 10 oscilaciones completas y volviendo al punto de salida.

c)  Ecuación de la velocidad:

v = 200π cos [20π t + (3π/2)], (v: cm/s, t: s)

v = 200π cos [(20π rad/s)·10 s + (3π/2)] = 0

Ecuación de la aceleración:

a = –4000π2 sen [20π t + (3π/2)], (a: cm/s2, t: s)

a = –4000π2 cm/s2

d)  La velocidad es máxima cuando cos (ω t + φ0) = ±1

De la ecuación fundamental de la trigonometría se tiene que:

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = 1

PLANTEAMINETO EC MAS 11,1

y = 10·sen 0 = 0

También se podía haber hecho de la siguiente forma:

cos (ω t + φ0) = ±1 → ω t + φ0 = 0 + kπ, k Î Z

t = (kπ – φ0)/ω

t = [kπ – (3π/2)]/20π

t = [k – (3/2)]/20

t = (2k – 3)/20 ≥ 0

2k – 3 ≥ 0 → k ≥ 3/2

t = [1/40, 3/40, 5/40,….,(2n – 1)/40] s, n = 1, 2,3,….

Sustituyendo en la ecuación del movimiento:

y = 10 sen {20π·[(2n – 1)/40] + (3π/2)}

y = 10 sen [nπ – (π/2) + (3π/2)]

y = 10 sen (nπ + π)

y = 10 sen (n + 1)·π = 0

Por tanto, la máxima velocidad se alcanza cuando el objeto pasa por el punto de equilibrio.

 

 

 


Deja un comentario

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo