El Sapo Sabio

 

Un móvil oscila armónicamente siendo su velocidad máxima de 20π cm/s y su aceleración máxima 80π² cm/s². Escribe las ecuaciones del movimiento sabiendo que en el instante inicial su elongación era –2,5 cm y estaba frenando.

 

 

Solución:

Datos: v_max = 20π cm/s; a_max = 80π² cm/s²; x₀ = –2,5 cm

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

Determinación de los parámetros:

v_{max →} cos (ω t + φ₀) = 1

v = A ω

A = v/ω = (20π cm/s)/ω

a_{max →} sen (ω t + φ₀) = –1

a = A ω²

80π² cm/s² = [(20π cm/s)/ω]·ω²

80π² cm/s² = (20π cm/s)·ω

ω = (80π² cm/s²)/(20π cm/s)

ω = 4π rad/s

A = (20π cm/s)/(4π rad/s)

A = 5 cm

Fase inicial:

x₀ = A sen (ω·0 + φ₀)

–2,5 cm = 5 cm·sen φ₀

sen φ₀ = –2,5 cm/5 cm = –0,5

φ₀ = arc sen (–0,5)

Primera solución:

φ₀ = –π/6 rad = [2π – (π/6)] rad = 11π/6 rad

Segunda solución:

φ₀ = 7π/6 rad

En este caso debemos tomar de los dos resultados, el ángulo perteneciente a un cuadrante en donde el valor de la elongación sea negativa, o sea, en el tercer cuadrante, luego:

φ₀ = 7π/6 rad

O también se puede hacer el siguiente razonamiento:

Si la posición es negativa la aceleración será positiva y como va frenando la velocidad será negativa.

Posición negativa, yendo hacia la izquierda significa que la fase inicial está entre π y 3π/2, por tanto:

φ₀ = 7π/6 rad

Ecuaciones del movimiento:

x = 5 sen [4π t + (7π/6)], (x: cm, t: s)

v = 20 π cos [4π t + (7π/6)], (v: cm/s, t: s)

a = –80π² sen [4π t + (7π/6)], (a: cm/s², t: s)