Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 09
Un móvil oscila armónicamente siendo su velocidad máxima de 20π cm/s y su aceleración máxima 80π2 cm/s2. Escribe las ecuaciones del movimiento sabiendo que en el instante inicial su elongación era –2,5 cm y estaba frenando.
Solución:
Datos: vmax = 20π cm/s; amax = 80π2 cm/s2; x0 = –2,5 cm
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
Determinación de los parámetros:
vmax → cos (ω t + φ0) = 1
v = A ω
A = v/ω = (20π cm/s)/ω
amax → sen (ω t + φ0) = –1
a = A ω2
80π2 cm/s2 = [(20π cm/s)/ω]·ω2
80π2 cm/s2 = (20π cm/s)·ω
ω = (80π2 cm/s2)/(20π cm/s)
ω = 4π rad/s
A = (20π cm/s)/(4π rad/s)
A = 5 cm
Fase inicial:
x0 = A sen (ω·0 + φ0)
–2,5 cm = 5 cm·sen φ0
sen φ0 = –2,5 cm/5 cm = –0,5
φ0 = arc sen (–0,5)
Primera solución:
φ0 = –π/6 rad = [2π – (π/6)] rad = 11π/6 rad
Segunda solución:
φ0 = 7π/6 rad
En este caso debemos tomar de los dos resultados, el ángulo perteneciente a un cuadrante en donde el valor de la elongación sea negativa, o sea, en el tercer cuadrante, luego:
φ0 = 7π/6 rad
O también se puede hacer el siguiente razonamiento:
Si la posición es negativa la aceleración será positiva y como va frenando la velocidad será negativa.
Posición negativa, yendo hacia la izquierda significa que la fase inicial está entre π y 3π/2, por tanto:
φ0 = 7π/6 rad
Ecuaciones del movimiento:
x = 5 sen [4π t + (7π/6)], (x: cm, t: s)
v = 20 π cos [4π t + (7π/6)], (v: cm/s, t: s)
a = –80π2 sen [4π t + (7π/6)], (a: cm/s2, t: s)