Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 08

 

Un móvil oscila armónicamente con frecuencia 1/π Hz y con una velocidad máxima de 20 cm/s. En el instante inicial iba frenando con aceleración +20 cm/s2. Escribe las ecuaciones del movimiento.

 

 

Solución:

Datos: f = 1/π Hz; vmax = 20 cm/s; a0 = +20 cm/s2

La aceleración es de frenado y positiva luego el móvil se mueve hacia la izquierda.

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π·f = 2π rad·(1/π) s–1 = 2 rad/s

La velocidad es máxima cuando:

cos (ω t + φ0) = ± 1

por tanto:

v = A ω → A = v/ω = (20 cm/s)/(2 rad/s) = 10 cm

Aceleración para t = 0:

a0 = –ω2 x

x = –a02 = –(20 cm/s2)/(2 rad/s)2 = –5 cm

x = A sen φ0 → sen φ0 = x/A

φ0 = arc sen (–5 cm/10 cm)

Primera solución:

φ0 = [π – (π/6)] rad = 5π/6 rad

Segunda solución:

φ0 = [π + (π/6)] rad = 7π/6 rad

Tanto el seno  como el ángulo no tienen dimensiones aunque sí poseen unidades.

Si: φ0 = 5π/6 rad, x = 10 cm·sen (5π/6) rad = 5 cm, no puede ser ya que inicialmente el móvil se desplaza hacia la izquierda, por tanto:

x = 10 sen [2 t + (7π/6)], (x: cm, t: s)

v = 20 cos [2 t + (7π/6)], (v: cm/s, t: s)

a = –40 sen [2 t + (7π/6)], (a: cm/s2, t: s)

 

 


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