Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 08
Un móvil oscila armónicamente con frecuencia 1/π Hz y con una velocidad máxima de 20 cm/s. En el instante inicial iba frenando con aceleración +20 cm/s2. Escribe las ecuaciones del movimiento.
Solución:
Datos: f = 1/π Hz; vmax = 20 cm/s; a0 = +20 cm/s2
La aceleración es de frenado y positiva luego el móvil se mueve hacia la izquierda.
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
Fase angular:
ω = 2π/T = 2π·f = 2π rad·(1/π) s–1 = 2 rad/s
La velocidad es máxima cuando:
cos (ω t + φ0) = ± 1
por tanto:
v = A ω → A = v/ω = (20 cm/s)/(2 rad/s) = 10 cm
Aceleración para t = 0:
a0 = –ω2 x
x = –a0/ω2 = –(20 cm/s2)/(2 rad/s)2 = –5 cm
x = A sen φ0 → sen φ0 = x/A
φ0 = arc sen (–5 cm/10 cm)
Primera solución:
φ0 = [π – (π/6)] rad = 5π/6 rad
Segunda solución:
φ0 = [π + (π/6)] rad = 7π/6 rad
Tanto el seno como el ángulo no tienen dimensiones aunque sí poseen unidades.
Si: φ0 = 5π/6 rad, x = 10 cm·sen (5π/6) rad = 5 cm, no puede ser ya que inicialmente el móvil se desplaza hacia la izquierda, por tanto:
x = 10 sen [2 t + (7π/6)], (x: cm, t: s)
v = 20 cos [2 t + (7π/6)], (v: cm/s, t: s)
a = –40 sen [2 t + (7π/6)], (a: cm/s2, t: s)