El Sapo Sabio

 

Un móvil oscila armónicamente con frecuencia 1/π Hz y con una velocidad máxima de 20 cm/s. En el instante inicial iba frenando con aceleración +20 cm/s². Escribe las ecuaciones del movimiento.

 

 

Solución:

Datos: f = 1/π Hz; v_max = 20 cm/s; a₀ = +20 cm/s²

La aceleración es de frenado y positiva luego el móvil se mueve hacia la izquierda.

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π·f = 2π rad·(1/π) s^–1 = 2 rad/s

La velocidad es máxima cuando:

cos (ω t + φ₀) = ± 1

por tanto:

v = A ω → A = v/ω = (20 cm/s)/(2 rad/s) = 10 cm

Aceleración para t = 0:

a₀ = –ω² x

x = –a₀/ω² = –(20 cm/s²)/(2 rad/s)² = –5 cm

x = A sen φ_{0 →} sen φ₀ = x/A

φ₀ = arc sen (–5 cm/10 cm)

Primera solución:

φ₀ = [π – (π/6)] rad = 5π/6 rad

Segunda solución:

φ₀ = [π + (π/6)] rad = 7π/6 rad

Tanto el seno  como el ángulo no tienen dimensiones aunque sí poseen unidades.

Si: φ₀ = 5π/6 rad, x = 10 cm·sen (5π/6) rad = 5 cm, no puede ser ya que inicialmente el móvil se desplaza hacia la izquierda, por tanto:

x = 10 sen [2 t + (7π/6)], (x: cm, t: s)

v = 20 cos [2 t + (7π/6)], (v: cm/s, t: s)

a = –40 sen [2 t + (7π/6)], (a: cm/s², t: s)