El Sapo Sabio

 

Un cuerpo dotado de un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud, tarda 0,2 s en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, halla:

a)  La ecuación que representa el movimiento del cuerpo.

b)  La velocidad del cuerpo en el instante t = 0,25 s.

 

 

Solución:

Datos: A = 10 cm; T = 0,2 s; t₀ = 0 → v₀ = 0 → x₀ positiva.

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

a)  Primero hallaremos el valor de la fase angular (ω):

ω = 2π/T = 2π rad/0,2 s = 10π rad/s

Ahora determinaremos la fase inicial (φ₀):

0 = A ω cos (ω·0 + φ₀) → cos φ₀ = 0

φ₀ = arc cos 0

Primera solución:

φ₀ = π/2 rad

Segunda solución:

φ₀ = 3π/2 rad

En la solución inicial k = 0.

Los valores de φ₀ se han obtenido de la ecuación del coseno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con seno (Posición)

x₀ = A sen (π/2) = A

x₀ = A sen (3π/2) = –A

Esta última solución no sirve porque da una elongación inicial negativa (En la izquierda)

La fase inicial es φ₀ = π/2.

Era evidente el resultado obtenido.

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

Parámetros: A = 10 cm, ω = 10π rad/s, φ₀ = π/2 rad

b)  Dato: t₁ = 0,25 s

v₁ = 10 cm·(10π rad/s)·cos [10π (rad/s)·0,25 s + (π/2) rad] = –314 cm/s

El cuerpo se mueve hacia la izquierda.