Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 06
Un cuerpo dotado de un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud, tarda 0,2 s en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, halla:
a) La ecuación que representa el movimiento del cuerpo.
b) La velocidad del cuerpo en el instante t = 0,25 s.
Solución:
Datos: A = 10 cm; T = 0,2 s; t0 = 0 → v0 = 0 → x0 positiva.
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
a) Primero hallaremos el valor de la fase angular (ω):
ω = 2π/T = 2π rad/0,2 s = 10π rad/s
Ahora determinaremos la fase inicial (φ0):
0 = A ω cos (ω·0 + φ0) → cos φ0 = 0
φ0 = arc cos 0
Primera solución:
φ0 = π/2 rad
Segunda solución:
φ0 = 3π/2 rad
En la solución inicial k = 0.
Los valores de φ0 se han obtenido de la ecuación del coseno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con seno (Posición)
x0 = A sen (π/2) = A
x0 = A sen (3π/2) = –A
Esta última solución no sirve porque da una elongación inicial negativa (En la izquierda)
La fase inicial es φ0 = π/2.
Era evidente el resultado obtenido.
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
Parámetros: A = 10 cm, ω = 10π rad/s, φ0 = π/2 rad
b) Dato: t1 = 0,25 s
v1 = 10 cm·(10π rad/s)·cos [10π (rad/s)·0,25 s + (π/2) rad] = –314 cm/s
El cuerpo se mueve hacia la izquierda.