Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 03
Halla las ecuaciones de un m.a.s sabiendo que el móvil inicialmente está a 35,4 cm a la izquierda del observador moviéndose hacia él con velocidad 22,2 cm/s y acelerando a 14 cm/s2.
Solución:
Datos: x0 = –35,4 cm; v0 = 22,2 cm/s; a0 = 14 cm/s2
Ecuaciones del movimiento:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x
En el momento inicial (t = 0):
x0 = A sen φ0
v0 = A ω cos φ0
a0 = –A ω2 sen φ0 = –ω2 x0
De la expresión de la aceleración:
a0/x0 = –ω2
De las expresiones de la posición y la velocidad:
sen φ0 = x0/A → sen2 φ0 = (x0/A)2
cos φ0 = v0/A ω → cos2 φ0 = (v0/A ω)2
sen2 φ0 + cos2 φ0 = (x0/A)2 + (v0/A ω)2
1 = (x0/A)2 + (v0/A ω)2
(x0/A)2 = 1 – (v0/A ω)2
x02/A2 = 1 – (v0/A ω)2
x02 = A2 – (v02/ω2)
A2 = x02 + (v02/ω2)
A2 = x02 + [v02/(–a0/x0)]
A2 = x02 – (x0 v02/a0)
A2 = x02 – (x02 v02/x0 a0)
A2 = x02 [1 – (v02/x0 a0)]
No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).
Para saber la solución que se debe tomar debemos tener en cuenta que, inicialmente, el móvil ser encuentra a la izquierda del observador, luego la elongación ha de ser negativa y la velocidad y la aceleración positivas (se dirigen hacia la derecha)
sen 0,79 = 0,71 No
sen (–0,79) = –0,71 Si
cos 0,79 = 0,70 Si
cos (–0,79) = 0,70 Si
Por lo tanto el resultado es:
φ0 = –0,79
Ecuaciones del movimiento completas:
x = 50·sen (0,633 t – 0,79), (x: cm, t: s)
v = 31,65·cos (0,633 t – 0,79), (v: cm/s, t: s)
a = –20·sen (0,633 t – 0,79), (a: cm/s2, t: s)