El Sapo Sabio

 

Halla las ecuaciones de un m.a.s sabiendo que el móvil inicialmente está a 35,4 cm a la izquierda del observador moviéndose hacia él con velocidad 22,2 cm/s y acelerando a 14 cm/s².

 

 

Solución:

Datos: x₀ = –35,4 cm; v₀ = 22,2 cm/s; a₀ = 14 cm/s²

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀) = –ω² x

En el momento inicial (t = 0):

x₀ = A sen φ₀

v₀ = A ω cos φ₀

a₀ = –A ω² sen φ₀ = –ω² x₀

De la expresión de la aceleración:

a₀/x₀ = –ω²

De las expresiones de la posición y la velocidad:

sen φ₀ = x₀/A → sen² φ₀ = (x₀/A)²

cos φ₀ = v₀/A ω → cos² φ₀ = (v₀/A ω)²

sen² φ₀ + cos² φ₀ = (x₀/A)² + (v₀/A ω)²

1 = (x₀/A)² + (v₀/A ω)²

(x₀/A)² = 1 – (v₀/A ω)²

x₀²/A² = 1 – (v₀/A ω)²

x₀² = A² – (v₀²/ω²)

A² = x₀² + (v₀²/ω²)

A² = x₀² + [v₀²/(–a₀/x₀)]

A² = x₀² – (x₀ v₀²/a₀)

A² = x₀² – (x₀² v₀²/x₀ a₀)

A² = x₀² [1 – (v₀²/x₀ a₀)]

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Para saber la solución que se debe tomar debemos tener en cuenta que, inicialmente, el móvil ser encuentra a la izquierda del observador, luego la elongación ha de ser negativa y la velocidad y la aceleración positivas (se dirigen hacia la derecha)

sen 0,79 = 0,71 No

sen (–0,79) = –0,71 Si

  cos 0,79 = 0,70 Si

cos (–0,79) = 0,70 Si

Por lo tanto el resultado es:

φ₀ = –0,79

Ecuaciones del movimiento completas:

x = 50·sen (0,633 t – 0,79), (x: cm, t: s)

v = 31,65·cos (0,633 t – 0,79), (v: cm/s, t: s)

a = –20·sen (0,633 t – 0,79), (a: cm/s², t: s)