Planteamiento de la ecuación del movimiento armónico 03

 

Halla las ecuaciones de un m.a.s sabiendo que el móvil inicialmente está a 35,4 cm a la izquierda del observador moviéndose hacia él con velocidad 22,2 cm/s y acelerando a 14 cm/s2.

 

 

Solución:

Datos: x0 = –35,4 cm; v0 = 22,2 cm/s; a0 = 14 cm/s2

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x

En el momento inicial (t = 0):

x0 = A sen φ0

v0 = A ω cos φ0

a0 = –A ω2 sen φ0 = –ω2 x0

De la expresión de la aceleración:

a0/x0 = –ω2

PLANTEAMIENTO EC MAS 02,1

De las expresiones de la posición y la velocidad:

sen φ0 = x0/A sen2 φ0 = (x0/A)2

cos φ0 = v0/A ω cos2 φ0 = (v0/A ω)2

sen2 φ0 + cos2 φ0 = (x0/A)2 + (v0/A ω)2

1 = (x0/A)2 + (v0/A ω)2

(x0/A)2 = 1 – (v0/A ω)2

x02/A2 = 1 – (v0/A ω)2

x02 = A2 – (v022)

A2 = x02 + (v022)

A2 = x02 + [v02/(–a0/x0)]

A2 = x02 – (x0 v02/a0)

A2 = x02 – (x02 v02/x0 a0)

A2 = x02 [1 – (v02/x0 a0)]

PLANTEAMIENTO EC MAS 02,2

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Para saber la solución que se debe tomar debemos tener en cuenta que, inicialmente, el móvil ser encuentra a la izquierda del observador, luego la elongación ha de ser negativa y la velocidad y la aceleración positivas (se dirigen hacia la derecha)

sen 0,79 = 0,71 No

sen (–0,79) = –0,71 Si

  cos 0,79 = 0,70 Si

cos (–0,79) = 0,70 Si

Por lo tanto el resultado es:

φ0 = –0,79

Ecuaciones del movimiento completas:

x = 50·sen (0,633 t – 0,79), (x: cm, t: s)

v = 31,65·cos (0,633 t – 0,79), (v: cm/s, t: s)

a = –20·sen (0,633 t – 0,79), (a: cm/s2, t: s)

 

 

 

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