Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 20
Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posición x = 0, con una frecuencia de 200 Hz. Si en el instante inicial (t = 0) la posición de la partícula es x0 = 10 mm y su velocidad es nula, determina en qué instante será máxima la velocidad de la misma.
Solución:
Datos: f = 200 Hz; x0 = 10 mm
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
Cálculo de los parámetros:
Si la partícula está detenida a 10 mm del origen, la amplitud del movimiento será 10 mm, o sea, A = 10 mm.
ω = 2π f = 2π rad·200·(s–1) = 400π rad/s
Para hallar la fase inicial aplicaremos la ecuación de posición a la situación inicial: t0 = 0, x0 = A.
A = A sen (ω·0 + φ0) → 1 = sen φ0
φ0 = π/2
No se añade k·2π a la solución porque buscamos la fase en la primera oscilación (k = 0)
Ecuación de la velocidad:
v1 = A ω cos (ω t1 + φ0)
La velocidad máxima se puede alcanzar en sentido positivo o negativo, es decir:
Primera solución:
t1 = [2π k – (π/2)]/ω = [2π k rad – (π/2) rad]/(400π rad/s)
t1 = [2 k rad – (1/2) rad]/(400 rad/s) = [–(1/8) + (1/2)·k]·10–2 s
k = 0 → t1 = –1,25·10–3 s
k = 0 → t1 = 3,75·10–3 s
k = 0 → t1 = 8,75·10–3 s
……….
Segunda solución:
t1 = [π + 2π k – (π/2)]/ω = [(π/2) rad + 2π k rad]/(400π rad/s)
t1 = [(1/2) rad + 2 k rad]/(400 rad/s) = [(1/8) + (1/2)·k]·10–2 s
k = 0 → t1 = 1,25·10–3 s
k = 0 → t1 = 6,75·10–3 s
……….
t1 = (1,25; 3,75; 6,75; 8,75;…) ms