El Sapo Sabio

 

Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posición x = 0, con una frecuencia de 200 Hz. Si en el instante inicial (t = 0) la posición de la partícula es x₀ = 10 mm y su velocidad es nula, determina en qué instante será máxima la velocidad de la misma.

 

 

Solución:

Datos: f = 200 Hz; x₀ = 10 mm

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

Cálculo de los parámetros:

Si la partícula está detenida a 10 mm del origen, la amplitud del movimiento será 10 mm, o sea, A = 10 mm.

ω = 2π f = 2π rad·200·(s^–1) = 400π rad/s

Para hallar la fase inicial aplicaremos la ecuación de posición a la situación inicial: t₀ = 0, x₀ = A.

A = A sen (ω·0 + φ₀) → 1 = sen  φ₀

φ₀ = π/2

No se añade k·2π a la solución porque buscamos la fase en la primera oscilación (k = 0)

Ecuación de la velocidad:

v₁ = A ω cos (ω t₁ + φ₀)

La velocidad máxima se puede alcanzar en sentido positivo o negativo, es decir:

Primera solución:

t₁ = [2π k – (π/2)]/ω = [2π k rad – (π/2) rad]/(400π rad/s)

t₁ = [2 k rad – (1/2) rad]/(400 rad/s) = [–(1/8) + (1/2)·k]·10^–2 s

k = 0 → t₁ = –1,25·10^–3 s

k = 0 → t₁ = 3,75·10^–3 s

k = 0 → t₁ = 8,75·10^–3 s

……….

Segunda solución:

t₁ = [π + 2π k – (π/2)]/ω = [(π/2) rad + 2π k rad]/(400π rad/s)

t₁ = [(1/2) rad + 2 k rad]/(400 rad/s) = [(1/8) + (1/2)·k]·10^–2 s

k = 0 → t₁ = 1,25·10^–3 s

k = 0 → t₁ = 6,75·10^–3 s

……….

t₁ = (1,25; 3,75; 6,75; 8,75;…) ms