Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 19

 

La ecuación del movimiento de una partícula es x = A sen (ω t + φ0). El tiempo que tarda en realizar una oscilación completa es de 2 s y la trayectoria que describe es un segmento de 12 cm de longitud sobre el eje OX y coincidiendo su punto medio con el origen de coordenadas. Se sabe que en el instante inicial la partícula se encontraba a una distancia A/2 del origen, moviéndose en el sentido positivo del eje OX.

a)  Halla los valores de A, ω, φ.

b)  Posición y velocidad de la partícula en el instante t = 1/6 s.

 

 

Solución:

Datos: T = 2 s; d = 12 cm

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

a)     

A = d/2 = 12 cm/2 = 6 cm

ω = 2π/T = 2π rad/2 s = π rad/s

Cuando t0 = 0, x0 = A/2 siendo v0 positiva, luego:

A/2 = A sen (ω·0 + φ0) → ½ = sen φ0

φ0 = arc sen 0,5

Primera solución:

φ0 = π/6 rad

Segunda solución:

φ0 = 5π/6 rad

No se consideran las repeticiones porque en la solución inicial k = 0.

Los valores de φ0 se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)

v0 = A ω cos (π/6) = 0,87 A ω

v0 = A ω cos (5π/6) = –0,87 A ω

Esta última solución no sirve porque da una velocidad inicial negativa (Hacia la izquierda)

La fase inicial es φ0 = π/6.

b)  Dato: t1 = 1/6 s

x1 = 6 cm·sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 5,2 cm

v1 = 6 cm·π rad·cos [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 9,42 cm/s

a1 = –6 cm·(π rad)2 sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = –51,3 cm/s2

La particular está a la derecha del observador (0) moviéndose hacia la derecha frenando.

APLIC EC MAS 11, 1

 

 


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