Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 19
La ecuación del movimiento de una partícula es x = A sen (ω t + φ0). El tiempo que tarda en realizar una oscilación completa es de 2 s y la trayectoria que describe es un segmento de 12 cm de longitud sobre el eje OX y coincidiendo su punto medio con el origen de coordenadas. Se sabe que en el instante inicial la partícula se encontraba a una distancia A/2 del origen, moviéndose en el sentido positivo del eje OX.
a) Halla los valores de A, ω, φ.
b) Posición y velocidad de la partícula en el instante t = 1/6 s.
Solución:
Datos: T = 2 s; d = 12 cm
Ecuaciones del movimiento armónico:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0)
a)
A = d/2 = 12 cm/2 = 6 cm
ω = 2π/T = 2π rad/2 s = π rad/s
Cuando t0 = 0, x0 = A/2 siendo v0 positiva, luego:
A/2 = A sen (ω·0 + φ0) → ½ = sen φ0
φ0 = arc sen 0,5
Primera solución:
φ0 = π/6 rad
Segunda solución:
φ0 = 5π/6 rad
No se consideran las repeticiones porque en la solución inicial k = 0.
Los valores de φ0 se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)
v0 = A ω cos (π/6) = 0,87 A ω
v0 = A ω cos (5π/6) = –0,87 A ω
Esta última solución no sirve porque da una velocidad inicial negativa (Hacia la izquierda)
La fase inicial es φ0 = π/6.
b) Dato: t1 = 1/6 s
x1 = 6 cm·sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 5,2 cm
v1 = 6 cm·π rad·cos [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 9,42 cm/s
a1 = –6 cm·(π rad)2 sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = –51,3 cm/s2
La particular está a la derecha del observador (0) moviéndose hacia la derecha frenando.