El Sapo Sabio

 

La ecuación del movimiento de una partícula es x = A sen (ω t + φ₀). El tiempo que tarda en realizar una oscilación completa es de 2 s y la trayectoria que describe es un segmento de 12 cm de longitud sobre el eje OX y coincidiendo su punto medio con el origen de coordenadas. Se sabe que en el instante inicial la partícula se encontraba a una distancia A/2 del origen, moviéndose en el sentido positivo del eje OX.

a)  Halla los valores de A, ω, φ.

b)  Posición y velocidad de la partícula en el instante t = 1/6 s.

 

 

Solución:

Datos: T = 2 s; d = 12 cm

Ecuaciones del movimiento armónico:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

a)     

A = d/2 = 12 cm/2 = 6 cm

ω = 2π/T = 2π rad/2 s = π rad/s

Cuando t₀ = 0, x₀ = A/2 siendo v₀ positiva, luego:

A/2 = A sen (ω·0 + φ₀) → ½ = sen φ₀

φ₀ = arc sen 0,5

Primera solución:

φ₀ = π/6 rad

Segunda solución:

φ₀ = 5π/6 rad

No se consideran las repeticiones porque en la solución inicial k = 0.

Los valores de φ₀ se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)

v₀ = A ω cos (π/6) = 0,87 A ω

v₀ = A ω cos (5π/6) = –0,87 A ω

Esta última solución no sirve porque da una velocidad inicial negativa (Hacia la izquierda)

La fase inicial es φ₀ = π/6.

b)  Dato: t₁ = 1/6 s

x₁ = 6 cm·sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 5,2 cm

v₁ = 6 cm·π rad·cos [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = 9,42 cm/s

a₁ = –6 cm·(π rad)² sen [π (rad/s)·(1/6) s + (π/6) rad] = –51,3 cm/s²

La particular está a la derecha del observador (0) moviéndose hacia la derecha frenando.