El Sapo Sabio

 

Un punto oscila armónicamente con amplitud 0,4 cm, frecuencia 100 cs. Su posición y velocidad iniciales eran respectivamente: 0,28 cm y 178 cm/s. Calcula:

a)  Velocidad cuando pasa por el origen.

b)  Tiempo que tarda en ir de un extremo a otro de su trayectoria.

c)  Aceleración cuando su velocidad es de 100 cm/s.

 

 

Solución:

Datos: A = 0,4 cm; f = 100 cs; x₀ = 0,28 cm; v₀ = 178 cm/s

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

a)  Dato: x₁ = 0

De las expresiones de la posición y la velocidad tenemos que:

x₁ = A sen (ω t₁ + φ₀) → sen (ω t₁ + φ₀) = x₁/A

sen² (ω t₁ + φ₀) = (x₁/A)²

v₁ = A ω cos (ω t₁ + φ₀) → cos (ω t₁ + φ₀)  = v₁/A ω

cos² (ω t₁ + φ₀) = (v₁/A ω)²

sen² (ω t₁ + φ₀) + cos² (ω t₁ + φ₀) = (x₁/A)² + (v₁/A ω)²

1 = (x₁/A)² + (v₁/A ω)²

(v₁/A ω)² = 1 – (x₁/A)²

Fase angular (ω):

ω = 2π/T = 2π·f

ω = 2π rad·100 s¹ = 200π rad/s

Se obtienen dos velocidades iguales y opuestas porque el móvil pasa por el origen a la ida y al regreso.

b)  Primero calcularemos cuándo está el móvil en cada extremo de la trayectoria para lo cual necesitaremos conocer el valor de la fase inicial.

Cálculo de la fase inicial:

x₀ = A sen (ω·0 + φ₀) = A sen φ₀

sen φ₀ = x₀/A → φ₀ = arc sen (x₀/A)

φ₀ = arc sen (0,28 cm/0,4 cm) = arc sen 0,7

Primera solución:

φ₀ = 0,775 rad

Segunda solución:

φ₀ = π rad – 0,775 rad = 2,37 rad 

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Los valores de φ₀ se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)

v₀ = 0,4 ·200π·cos (0,775) = 180 cm/s

 v₀ = 0,4 ·200π·cos (2,37) = –180 cm/s cm/s (No)

No sale exactamente la velocidad dada (178 cm/s) debido a los redondeos.

Luego la fase inicial es: 0,775 rad.

Extremo derecho: x₂ = A

x₂ = A sen (ω t₂ + φ₀)

sen (ω t₂ + φ₀) = x₂/A

 ω t₂ + φ₀ = arc sen (x₂/A) → ω t₂ + φ₀ = arc sen (A/A)

  ω t₂ + φ₀ = arc sen 1 = [(π/2) + 2k π] rad

200π (rad/s) t₂ + 0,775 rad = [(π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t₂ = [(π/2) + 2kπ)] rad –  0,775 rad

t₂ = {[(π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad}/200π (rad/s)

t₂ = {[(π/2) + 2kπ)] rad – 0,247 π rad}/200π (rad/s)

t₂ = (0,001,27 + 0,01k) s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (0,01 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t₂ = 0,00127 s

k = 1 → t₂ = 1,00123 s

 k = 2 → t₂ = 2,00123 s

……………

En el extremo izquierdo: x₃ = –A

x₃ = A sen (ω t₂ + φ₀)

sen (ω t₂ + φ₀) = x₃/A

 ω t₂ + φ₀ = arc sen (x₃/A) → ω t₂ + φ₀ = arc sen (–A/A)  

ω t₂ + φ₀ = arc sen (–1) =  [(3·π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t₂ + 0,775 rad = [(3·π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t₂ = [(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad

t₂ = {[(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad}/200π (rad/s)

t₂ = {[(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,247 π rad}/200π (rad/s)

t₂ = (0,00627 + 0,01k)] s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (0,01 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t₂ = 0,0627 s

k = 1 → t₂ = 1,063 s

k = 2 → t₂ = 2,063 s

……………

El primer extremo por el que pasa es el derecho (t = 0,00127 s), después pasa por el izquierdo (t = 0,0627 s). En el recorrido de uno a otro se invierte un tiempo de:

∆t = 0,0627 s – 0,00127 s = 0,005 s

 Lógico, el tiempo que tarda en ir de un extremo al otro es la mitad del período.

c)  Dato: v = 100 cm/s

v = A ω cos (ω t + φ₀) → cos (ω t + φ₀) = v/A ω

cos² (ω t + φ₀) = (v/A ω)²

a = –A ω² sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = –a/A ω²

sen² (ω t + φ₀) = (–a/A ω²)²

sen² (ω t + φ₀) + cos² (ω t + φ₀) = (–a/A ω²)² + (v/A ω)²

1 = (–a/A ω²)² + (v/A ω)²

(a/A ω²)² = 1 – (v/A ω)² 

A cada velocidad le corresponden dos aceleraciones iguales y contrarias (Porque la misma velocidad se tiene en dos posiciones simétricas a las que corresponden  aceleraciones iguales y opuestas)