Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 18

 

Un punto oscila armónicamente con amplitud 0,4 cm, frecuencia 100 cs. Su posición y velocidad iniciales eran respectivamente: 0,28 cm y 178 cm/s. Calcula:

a)  Velocidad cuando pasa por el origen.

b)  Tiempo que tarda en ir de un extremo a otro de su trayectoria.

c)  Aceleración cuando su velocidad es de 100 cm/s.

 

 

Solución:

Datos: A = 0,4 cm; f = 100 cs; x0 = 0,28 cm; v0 = 178 cm/s

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0)

a)  Dato: x1 = 0

De las expresiones de la posición y la velocidad tenemos que:

x1 = A sen (ω t1 + φ0) → sen (ω t1 + φ0) = x1/A

sen2 (ω t1 + φ0) = (x1/A)2

v1 = A ω cos (ω t1 + φ0) → cos (ω t1 + φ0)  = v1/A ω

cos2 (ω t1 + φ0) = (v1/A ω)2

sen2 (ω t1 + φ0) + cos2 (ω t1 + φ0) = (x1/A)2 + (v1/A ω)2

1 = (x1/A)2 + (v1/A ω)2

(v1/A ω)2 = 1 – (x1/A)2

APLIC EC MAS 18, 1

Fase angular (ω):

ω = 2π/T = 2π·f

ω = 2π rad·100 s1 = 200π rad/s

APLIC EC MAS 18, 2

Se obtienen dos velocidades iguales y opuestas porque el móvil pasa por el origen a la ida y al regreso.

b)  Primero calcularemos cuándo está el móvil en cada extremo de la trayectoria para lo cual necesitaremos conocer el valor de la fase inicial.

Cálculo de la fase inicial:

x0 = A sen (ω·0 + φ0) = A sen φ0

sen φ0 = x0/A → φ0 = arc sen (x0/A)

φ0 = arc sen (0,28 cm/0,4 cm) = arc sen 0,7

Primera solución:

φ0 = 0,775 rad

Segunda solución:

φ0 = π rad – 0,775 rad = 2,37 rad 

No se añade 2kπ porque queremos averiguar la fase en la primera oscilación (k = 0).

Los valores de φ0 se han obtenido de la ecuación del seno. Para determinar el valor correcto utilizaremos la ecuación con coseno (Velocidad)

v0 = 0,4 ·200π·cos (0,775) = 180 cm/s

 v0 = 0,4 ·200π·cos (2,37) = –180 cm/s cm/s (No)

No sale exactamente la velocidad dada (178 cm/s) debido a los redondeos.

Luego la fase inicial es: 0,775 rad.

Extremo derecho: x2 = A

x2 = A sen (ω t2 + φ0)

sen (ω t2 + φ0) = x2/A

 ω t2 + φ0 = arc sen (x2/A) → ω t2 + φ0 = arc sen (A/A)

  ω t2 + φ0 = arc sen 1 = [(π/2) + 2k π] rad

200π (rad/s) t2 + 0,775 rad = [(π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t2 = [(π/2) + 2kπ)] rad –  0,775 rad

t2 = {[(π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad}/200π (rad/s)

t2 = {[(π/2) + 2kπ)] rad – 0,247 π rad}/200π (rad/s)

t2 = (0,001,27 + 0,01k) s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (0,01 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t2 = 0,00127 s

k = 1 → t2 = 1,00123 s

 k = 2 → t2 = 2,00123 s

……………

En el extremo izquierdo: x3 = –A

x3 = A sen (ω t2 + φ0)

sen (ω t2 + φ0) = x3/A

 ω t2 + φ0 = arc sen (x3/A) → ω t2 + φ0 = arc sen (–A/A)  

ω t2 + φ0 = arc sen (–1) =  [(3·π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t2 + 0,775 rad = [(3·π/2) + 2kπ)] rad

200π (rad/s) t2 = [(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad

t2 = {[(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,775 rad}/200π (rad/s)

t2 = {[(3·π/2) + 2kπ)] rad – 0,247 π rad}/200π (rad/s)

t2 = (0,00627 + 0,01k)] s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (0,01 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t2 = 0,0627 s

k = 1 → t2 = 1,063 s

k = 2 → t2 = 2,063 s

……………

El primer extremo por el que pasa es el derecho (t = 0,00127 s), después pasa por el izquierdo (t = 0,0627 s). En el recorrido de uno a otro se invierte un tiempo de:

∆t = 0,0627 s – 0,00127 s = 0,005 s

 Lógico, el tiempo que tarda en ir de un extremo al otro es la mitad del período.

c)  Dato: v = 100 cm/s

v = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v/A ω

cos2 (ω t + φ0) = (v/A ω)2

a = –A ω2 sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = –a/A ω2

sen2 (ω t + φ0) = (–a/A ω2)2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (–a/A ω2)2 + (v/A ω)2

1 = (–a/A ω2)2 + (v/A ω)2

(a/A ω2)2 = 1 – (v/A ω)2 

APLIC EC MAS 18, 3

A cada velocidad le corresponden dos aceleraciones iguales y contrarias (Porque la misma velocidad se tiene en dos posiciones simétricas a las que corresponden  aceleraciones iguales y opuestas)

 

 


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