El Sapo Sabio

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = A sen [(2·π·t/T) + (π/2)]. Determina cuánto tardará en ir:

a)  Del extremo derecho a la posición x = A/2.

b)  De la posición x = A/2 al centro.

c)  Del centro a la posición x = –A/2.

d)  De la posición x = –A/2 al extremo izquierdo.

 

 

Solución:

Ecuación del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

Vamos a calcular cuándo está el móvil en cada una de las posiciones:

x₁ = A:

x₁ = A sen (ω t₁ + φ₀)

ω t₁ + φ₀ = arc sen (x₁/A)

ω t₁ + φ₀ = arc sen (A/A) = arc sen (1)

ω t₁ + (π/2) rad = [(π/2) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t₁ = [(π/2) – (π/2) + 2kπ] rad

t₁ = 2kπ rad/(2π rad/T)

t₁ = k T

t₁ = 0, T, 2T, 3T,…

x₂ = A/2:

x₂ = A sen (ω t₂ + φ₀)

ω t₂ + φ₀ = arc sen (x₂/A)

ω t₂ + φ₀ = arc sen [(A/2)/A] = arc sen (1/2)

Primera solución:

ω t₂ + (π/2) rad = [(π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t₂ = [(π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t₂ = [–(π/6) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t₂ = (–T/6) + k T

t₂ = 0, –T/6, 5T/6, 11T/6,…

Segunda solución:

ω t₂ + (π/2) rad = [(5π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t₂ = [(5π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t₂ = [(2π/6) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t₂ = (T/6) + k T

t₂ = 0, T/6, 7T/6,…

t₂ = T/6, 5T/6, 7T/6, 11T/6,…

x₃ = 0:

x₃ = A sen (ω t₃ + φ₀)

ω t₃ + φ₀ = arc sen (x₃/A)

ω t₃ + φ₀ = arc sen (0/2) = arc sen 0

Primera solución:

ω t₃ + (π/2) rad = (0 + 2kπ) rad

(2π rad/T)·t₃ = [0 – (π/2) + 2kπ] rad

t₃ = [–(π/2) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t₃ = (–T/4) + k T

t₃ = –T/4, 3T/4, 7T/4,…

Segunda solución:

ω t₃ + (π/2) rad = (π + 2kπ) rad

(2π rad/T)·t₃ = [π – (π/2) + 2kπ] rad

t₃ = [(π/2) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t₃ = (T/4) + k T

t₃ = T/4, 5T/4,…

t₃ = T/4, 3T/4, 5T/4, 7T/4,…

x₄ = –A/2:

x₄ = A sen (ω t₄ + φ₀)

ω t₄ + φ₀ = arc sen (x₄/A)

ω t₄ + φ₀ = arc sen [(–A/2)/A] = arc sen (–1/2)

Primera solución:

ω t₄ + (π/2) rad = [(7π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t₄ = [(7π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t₄ = [(4π/6) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t₄ = (T/3) + k T

t₄ = T/3, 4T/3,…

Segunda solución:

ω t₄ + (π/2) rad = [(11π/6) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t₄ = [(11π/6) – (π/2) + 2kπ] rad

t₄ = [(4π/3) + 2kπ rad]/(2π rad/T)

t₄ = (2T/3) + k T

t₄ = 2T/3, 5T/3,…

t₄ = T/3, 2T/3, 4T/3, 5T/3,…

x₁ = –A:

x₅ = A sen (ω t₅ + φ₀)

ω t₅ + φ₀ = arc sen (x₅/A)

ω t₅ + φ₀ = arc sen (–A/A) = arc sen (–1)

ω t₅ + (π/2) rad = [(3π/2) + 2kπ] rad

(2π rad/T)·t₅ = [(3π/2) – (π/2) + 2kπ] rad

t₅ = (π + 2kπ) rad/(2π rad/T)

t₅ = (T/2) + k T

t₅ = T/2, 3T/2, 5T/2, 7T/2,…

El tiempo que tarda el móvil en ir de un punto a otro se obtendrá restando los valores del tiempo cuando el móvil pasa por ellos por primera vez yendo en  el mismo sentido.

a)  Sentido negativo: 

Origen: x = A

Destino: x = A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₂ – t₁ = (T/6) – 0 = T/6

Sentido positivo:

Origen: x = –A

Destino: x = –A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₄ – t₅ = (2T/3) – (T/2) = T/6

b)  Sentido negativo: 

Origen: x = A/2

Destino: x = 0

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₃ – t₂ = (T/4) – (T/6) = T/12

Sentido positivo:

Origen: x = –A/2

Destino: x = 0

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₃ – t₄ = (3T/4) – (2T/3) = T/12

c)  Sentido negativo: 

Origen: x = 0

Destino: x = –A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₄ – t₃ = (T/3) – (T/4) = T/12

Sentido positivo:

Origen: x = 0

Destino: x = A/2

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₂ – t₃ = (5T/6) – (3T/4) = T/12

d)  Sentido negativo: 

Origen: x = –A/2

Destino: x = –A

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₅ – t₄ = (T/2) – (T/3) = T/6

Sentido positivo:

Origen: x = A/2

Destino: x = A

Tiempo transcurrido en el recorrido:

∆t = t₁ – t₂ = (T) – (5T/6) = T/6

Resumen:

Para el mismo recorrido el tiempo invertido es igual en la ida que en la vuelta. Es decir, se tarda el mismo tiempo en hacer recorridos simétricos respecto al origen.

Desde cada extremo al centro se tarda T/4 y de extremo a extremo T/2.

Desde el origen hasta la mitad de la amplitud se invierte la mitad de lo que se necesita desde la mitad de la amplitud hasta el extremo.