El Sapo Sabio

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 20 sen (π·t + 7·π/4) (x:cm, t:s) Calcula:

a)  ¿Cuándo estará en los extremos de su trayectoria?

b)  Calcula su elongación cuando tenga la velocidad máxima.

c)  Determina su velocidad cuando tiene la máxima aceleración.

 

 

 

Solución:

Datos: A = 20 cm; ω = π rad/s; φ₀ = (7·π/4) rad

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

a)  Extremo derecho: x₁ = A

x₁ = A sen (ω t₁ + φ₀)

sen (ω t₁ + φ₀) = x₁/A

 ω t₁ + φ₀ = arc sen (x₁/A) → ω t₁ + φ₀ = arc sen (A/A)  

π (rad/s) t₁ + (7·π/4) rad = [(π/2) + 2kπ)] rad

π (rad/s) t₁ = [(π/2) + 2kπ)] rad –  (7·π/4) rad

 π (rad/s) t₁ = [– (5·π/4) + 2kπ)] rad

t₁ = [–(5·π/4) + 2kπ)] rad/π (rad/s)

t₁ = [–(5/4) + 2k)] s = [–(5/4) + 2k)] s

t₁ = (–1,25 + 2k) s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (2 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t₁ = –1,25 s (No)

k = 1 → t₁ = 0,75 s

 k = 2 → t₁ = 2,75 s

……………

El primer resultado no es válido porque un valor negativo del tiempo indica que en la primera oscilación (k = 0) la fase no toma el valor indicado.

En la primera oscilación la fase del móvil empieza en  1,75π, luego no podrá valer 0,75π. En las siguientes oscilaciones la fase ya empieza desde cero y puede valer 0,75π.

La serie de tiempos corresponde a una fase 0,75π: el móvil estará en el extremo derecho del recorrido (x = 20 cm), excepto en la primera oscilación.

Fase y estado del móvil:

Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:

x = A sen φ            v = A φ cos φ

φ = (ω t + φ₀)

Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando

Valores del tiempo: t₁ = 0,75; 2,75;.… s

En el extremo izquierdo: x₂ = –A

x₂ = A sen (ω t₂ + φ₀)

sen (ω t₂ + φ₀) = x₂/A

 ω t₂ + φ₀ = arc sen (x₂/A) → ω t₂ + φ₀ = arc sen (–A/A)  

π (rad/s) t₂ + (7·π/4) rad = [(3·π/2) + 2kπ)] rad

π (rad/s) t₂ = [(3·π/2) + 2kπ)] rad –  (7·π/4) rad

 π (rad/s) t₂ = [(–π/4) + 2kπ)] rad

t₂ = [(–π/4) + 2kπ)] rad/π (rad/s)

t₁ = (–0,25 + 2k)] s

Se obtiene una única serie de valores, separados por el valor del período (2 s) porque, en el extremo, el móvil tiene una única velocidad: 0.

k = 0 → t₂ = –0,25 s (No)

k = 1 → t₂ = 1,75 s

 k = 2 → t₂ = 3,75 s

……………

El primer resultado no es válido porque un valor negativo del tiempo indica que en la primera oscilación (k = 0) la fase no toma el valor indicado.

En la primera oscilación la fase del móvil empieza en  1,75π, luego no podrá valer 1,5π. En las siguientes oscilaciones la fase ya empieza desde cero y puede valer 1,5π.

La serie de tiempos corresponde a una fase 1,75π: el móvil estará en el extremo derecho del recorrido (x = 20 cm), excepto en la primera oscilación.

Fase y estado del móvil:

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando

Valores del tiempo: t₁ = 1,75; 3,75;.… s

b)  La velocidad es máxima cuando:

cos (ω t + φ₀) = ±1

O sea:

v₃ = ±A ω

(Puede ir hacia la derecha o hacia la izquierda)

x₃ = A sen (ω t₃ + φ₀) → sen (ω t₃ + φ₀) = x₃/A

sen² (ω t₃ + φ₀) = (x₃/A)²

v₃ = A ω cos (ω t₃ + φ₀) → cos (ω t₃ + φ₀) = v₃/A·ω

cos² (ω t₃ + φ₀) = (v₃/A·ω)²

sen² (ω t₃ + φ₀) + cos² (ω t₃ + φ₀) = (x₃/A)² + (v₃/A·ω)²

1 = (x₃/A)² + (v₃/A·ω)²

 (x₃/A)² = 1 – (v₃/A·ω)²

La velocidad máxima se alcanza al pasar por el origen. 

También se puede hacer de la siguiente forma:

cos (π·t₃ + 7·π/4) = 1

π·t₃ + 7·π/4 = 0

Sustituyendo en la ecuación de la elongación:

x₃ = 20·sen 0 = 0

c)  La aceleración es máxima cuando:

sen (ω t + φ₀) = ±1

O sea:

a₄ = ±A ω²

(Puede ir hacia la derecha o hacia la izquierda)

v₄ = A ω cos (ω t₄ + φ₀) → cos (ω t₄ + φ₀) = v₄/A·ω

cos² (ω t₄ + φ₀) = (v₄/A·ω)²

a₄ = –A ω² sen (ω t₄ + φ₀) → sen (ω t₄ + φ₀) = a₄/(–A·ω²)

sen² (ω t₄ + φ₀) = [a₄/(–A·ω²)]²

sen² (ω t₄ + φ₀) + cos² (ω t₄ + φ₀) = [a₄/(–A·ω²)]² + (v₄/A·ω)²

1 = [a₄/(–A·ω²)]² + (v₄/A·ω)²

(v₄/A·ω)² = 1 – [a₄/(–A·ω²)]²

Cuando la aceleración es máxima la velocidad es nula (Ocurre en los extremos)

También se puede hacer de la siguiente forma:

sen (π·t₃ + 7·π/4) = 1

π·t₄ + 7·π/4 = π/2

Sustituyendo en la ecuación de la velocidad:

v₄ = 20π·cos (π/2) = 0