Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 14
La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 25 sen (π·t/6 + 3·π/2) (x:cm, t:s). Determina:
a) Situación inicial.
b) Elongación cuando la velocidad sea 8 cm/s.
c) Velocidad cuando la aceleración sea 2 cm/s2.
d) Elongación cuando la aceleración sea 6,85 cm/s2.
Solución:
Datos: A = 25 cm; ω = (π/6) rad/s; φ0 = (3·π/2) rad
Ecuaciones del movimiento:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x
a) Dato: t = 0
Elongación:
x0 = 25 cm·sen [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]
x0 = –25 cm
Velocidad:
v0 = 25 cm·(π/6)·(rad/s)·cos [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]
v0 = 0
Aceleración:
a0 = –25 cm·[(π/6)]2·(rad/s)·sen [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]
a0 = 6,85 cm/s2
Inicialmente el móvil está parado en el extremo izquierdo de la trayectoria y tiene aceleración hacia la derecha, lo que significa que en el siguiente instante estará moviéndose hacia la derecha.
b) Dato: v1 = 8 cm/s
x1 = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = x1/A
sen2 (ω t + φ0) = (x1/A)2
v1 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v1/A·ω
cos2 (ω t + φ0) = (v1/A·ω)2
sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2
1 = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2
(x1/A)2 = 1 – (v1/A·ω)2
En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma velocidad y las posiciones correspondientes son simétricas respecto al origen (Excepto la velocidad máxima de ida o vuelta que sólo se tiene en una posición: el origen)
x = 19,85 cm v = 8 cm/s
x = –19,85 cm v = 8 cm/s
x = 19,8 cm v = 8 cm/s
x = –19,85 cm v = 8 cm/s
…………
c) Dato: a2 = 2 cm/s2
v2 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v2/A·ω
cos2 (ω t + φ0) = (v2/A·ω)2
a2 = –A ω2 sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = a2/(–A·ω2)
sen2 (ω t + φ0) = [a2/(–A·ω2)]2
sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = [a2/(–A·ω2)]2 + (v2/A·ω)2
1 = [a2/(–A·ω2)]2 + (v2/A·ω)2
(v2/A·ω)2 = 1 – [a2/(–A·ω2)]2
En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma aceleración y las velocidades correspondientes son iguales y contrarias (En un caso irá frenando y en el otro acelerando)
x = –12,5 cm a = 2 cm/s
x = 12,5 cm a = 2 cm/s
x = –12,5 cm a = 2 cm/s
x = 12,5 cm a = 2 cm/s
…………
d) Dato: a3 = 6,85 cm/s2
a3 = –ω2 x3 → x3 = –a3/ω2
x3 = –(6,85 cm/s2)/[(π/6)·(rad/s)]2 = –25 cm
A cada aceleración le corresponde una única posición (Proporcional y contraria)