Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 14

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 25 sen (π·t/6 + 3·π/2) (x:cm, t:s). Determina:

a)  Situación inicial.

b)  Elongación cuando la velocidad sea 8 cm/s.

c)  Velocidad cuando la aceleración sea 2 cm/s2.

d)  Elongación cuando la aceleración sea 6,85 cm/s2.

 

 

Solución:

Datos: A = 25 cm; ω = (π/6) rad/s; φ0 = (3·π/2) rad

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x

a)  Dato: t = 0

Elongación:

x0 = 25 cm·sen [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]

x0 = –25 cm

Velocidad:

v0 = 25 cm·(π/6)·(rad/s)·cos [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]

v0 = 0

Aceleración:

a0 = –25 cm·[(π/6)]2·(rad/s)·sen [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]

a0 = 6,85 cm/s2

Inicialmente el móvil está parado en el extremo izquierdo de la trayectoria y tiene aceleración hacia la derecha, lo que significa que en el siguiente instante estará moviéndose hacia la derecha.

APLIC EC MAS 11, 19

b)  Dato: v1 = 8 cm/s

x1 = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = x1/A

sen2 (ω t + φ0) = (x1/A)2

v1 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v1/A·ω

cos2 (ω t + φ0) = (v1/A·ω)2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2

1 = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2

(x1/A)2 = 1 – (v1/A·ω)2

APLIC EC MAS 14, 1

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma velocidad y las posiciones correspondientes son simétricas respecto al origen (Excepto la velocidad máxima de ida o vuelta que sólo se tiene en una posición: el origen)

x = 19,85 cm          v = 8 cm/s

APLIC EC MAS 11, 13

x = –19,85 cm        v = 8 cm/s

APLIC EC MAS 11, 15

x = 19,8 cm  v = 8 cm/s

APLIC EC MAS 11, 13

x = –19,85 cm        v = 8 cm/s

APLIC EC MAS 11, 15

…………

c)  Dato: a2 = 2 cm/s2

v2 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v2/A·ω

cos2 (ω t + φ0) = (v2/A·ω)2

a2 = –A ω2 sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = a2/(–A·ω2)

sen2 (ω t + φ0) = [a2/(–A·ω2)]2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = [a2/(–A·ω2)]2 + (v2/A·ω)2

1 = [a2/(–A·ω2)]2 + (v2/A·ω)2

(v2/A·ω)2 = 1 – [a2/(–A·ω2)]2

APLIC EC MAS 14, 2

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma aceleración y las velocidades correspondientes son iguales y contrarias (En un caso irá frenando y en el otro acelerando)

x = –12,5 cm          a = 2 cm/s

APLIC EC MAS 11, 3

x = 12,5 cm            a = 2 cm/s

APLIC EC MAS 11, 4

x = –12,5 cm          a = 2 cm/s

APLIC EC MAS 11, 3

x = 12,5 cm            a = 2 cm/s

APLIC EC MAS 11, 4

…………

d)  Dato: a3 = 6,85 cm/s2

a3 = –ω2 x3 → x3 = –a32

x3 = –(6,85 cm/s2)/[(π/6)·(rad/s)]2 = –25 cm 

A cada aceleración le corresponde una única posición (Proporcional y contraria)

APLIC EC MAS 11, 19

 

 


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