El Sapo Sabio

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 25 sen (π·t/6 + 3·π/2) (x:cm, t:s). Determina:

a)  Situación inicial.

b)  Elongación cuando la velocidad sea 8 cm/s.

c)  Velocidad cuando la aceleración sea 2 cm/s².

d)  Elongación cuando la aceleración sea 6,85 cm/s².

 

 

Solución:

Datos: A = 25 cm; ω = (π/6) rad/s; φ₀ = (3·π/2) rad

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀) = –ω² x

a)  Dato: t = 0

Elongación:

x₀ = 25 cm·sen [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]

x₀ = –25 cm

Velocidad:

v₀ = 25 cm·(π/6)·(rad/s)·cos [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]

v₀ = 0

Aceleración:

a₀ = –25 cm·[(π/6)]²·(rad/s)·sen [(π/6)·(rad/s)·0 + (3·π/2) rad]

a₀ = 6,85 cm/s²

Inicialmente el móvil está parado en el extremo izquierdo de la trayectoria y tiene aceleración hacia la derecha, lo que significa que en el siguiente instante estará moviéndose hacia la derecha.

b)  Dato: v₁ = 8 cm/s

x₁ = A sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = x₁/A

sen² (ω t + φ₀) = (x₁/A)²

v₁ = A ω cos (ω t + φ₀) → cos (ω t + φ₀) = v₁/A·ω

cos² (ω t + φ₀) = (v₁/A·ω)²

sen² (ω t + φ₀) + cos² (ω t + φ₀) = (x₁/A)² + (v₁/A·ω)²

1 = (x₁/A)² + (v₁/A·ω)²

(x₁/A)² = 1 – (v₁/A·ω)²

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma velocidad y las posiciones correspondientes son simétricas respecto al origen (Excepto la velocidad máxima de ida o vuelta que sólo se tiene en una posición: el origen)

x = 19,85 cm          v = 8 cm/s

x = –19,85 cm        v = 8 cm/s

x = 19,8 cm  v = 8 cm/s

x = –19,85 cm        v = 8 cm/s

…………

c)  Dato: a₂ = 2 cm/s²

v₂ = A ω cos (ω t + φ₀) → cos (ω t + φ₀) = v₂/A·ω

cos² (ω t + φ₀) = (v₂/A·ω)²

a₂ = –A ω² sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = a₂/(–A·ω²)

sen² (ω t + φ₀) = [a₂/(–A·ω²)]²

sen² (ω t + φ₀) + cos² (ω t + φ₀) = [a₂/(–A·ω²)]² + (v₂/A·ω)²

1 = [a₂/(–A·ω²)]² + (v₂/A·ω)²

(v₂/A·ω)² = 1 – [a₂/(–A·ω²)]²

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma aceleración y las velocidades correspondientes son iguales y contrarias (En un caso irá frenando y en el otro acelerando)

x = –12,5 cm          a = 2 cm/s

x = 12,5 cm            a = 2 cm/s

x = –12,5 cm          a = 2 cm/s

x = 12,5 cm            a = 2 cm/s

…………

d)  Dato: a₃ = 6,85 cm/s²

a₃ = –ω² x₃ → x₃ = –a₃/ω²

x₃ = –(6,85 cm/s²)/[(π/6)·(rad/s)]² = –25 cm 

A cada aceleración le corresponde una única posición (Proporcional y contraria)