El Sapo Sabio

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 15 sen (2·π·t + π/2) (x:cm, t:s). Determina:

a)  Situación inicial.

b)  Velocidad cuando la elongación sea 5 cm.

c)  Elongación cuando la velocidad es de 70 cm/s.

d)  Aceleración cuando la elongación es 10 cm.

e)  Aceleración cuando la velocidad sea 30 cm/s.

 

 

Solución:

Datos: A = 15 cm; ω = 2π rad/s; φ₀ = (π/2) rad

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀) = –ω² x

a)  Dato: t = 0

Elongación:

x₀ = 15 cm·sen [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]

x₀ = 15 cm

Velocidad:

v₀ = 15 cm·2π (rad/s)·cos [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]

v₀ = 0

Aceleración:

a₀ = –15 cm·[2π (rad/s)]²·(sen [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]

a₀ = –592 cm/s²

Inicialmente el móvil está parado en el extremo derecho de la trayectoria y tiene aceleración hacia la izquierda, lo que significa que en el siguiente instante estará moviéndose hacia la izquierda.

b)  Dato: x₁ = 5 cm

x₁ = A sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = x₁/A

sen² (ω t + φ₀) = (x₁/A)²

v₁ = A ω cos (ω t + φ₀) → cos (ω t + φ₀) = v₁/A·ω

cos² (ω t + φ₀) = (v₁/A·ω)²

sen² (ω t + φ₀) + cos² (ω t + φ₀) = (x₁/A)² + (v₁/A·ω)²

1 = (x₁/A)² + (v₁/A·ω)²

(v₁/A·ω)² = 1 – (x₁/A)²

 En cada posición se tienen dos velocidades iguales y contrarias (Excepto en cada uno de los extremos donde está una sola vez con velocidad cero)

x = 5 cm      v = 88,9 cm/s

x = 5 cm      v = –88,9 cm/s

x = 5 cm      v = 88,9 cm/s

x = 5 cm      v = –88,9 cm/s

…………

c)  Dato: v₂ = 70 cm

Del apartado anterior tenemos que:

1 = (x₂/A)² + (v₂/A·ω)²

(x₂/A)² = 1 – (v₂/A·ω)²

Cada velocidad se tiene en dos posiciones simétricas respecto al origen (Excepto la velocidad máxima de ida o vuelta que sólo se tiene en el origen)

x = 10 cm     v = 70 cm/s

x =– 10 cm             v = 70 cm/s

x = 10 cm     v = 70 cm/s

x =– 10 cm             v = 70 cm/s

…………

d)  Dato: x₃ = 10 cm

a₃ = –ω² x₃

a₃ = –[2π (rad/s)]²·10 cm = –395 cm/s²

A cada posición le corresponde una única aceleración.

e)  Dato: v₄ = 30 cm/s

v₄ = A ω cos (ω t + φ₀) → cos (ω t + φ₀) = v₄/A·ω

cos² (ω t + φ₀) = (v₄/A·ω)²

a₄ = –A ω² sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = a₄/(–A·ω²)

sen² (ω t + φ₀) = [a₄/(–A·ω²)]²

sen² (ω t + φ₀) + cos² (ω t + φ₀) = [a₄/(–A·ω²)]² + (v₄/A·ω)²

1 = [a₄/(–A·ω²)]² + (v₄/A·ω)²

[a₄/(–A·ω²)]² = 1 – (v₄/A·ω)²

A cada velocidad le corresponden dos aceleraciones iguales y contrarias (Excepto a la velocidad máxima de ida o vuelta que le corresponde aceleración cero)

v = 30 cm/s           a = –561 cm/s²

v = 30 cm/s            a = 561 cm/s²

v = 30 cm/s           a = –561 cm/s²

v = 30 cm/s           a = 561 cm/s²

…………