Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 13

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 15 sen (2·π·t + π/2) (x:cm, t:s). Determina:

a)  Situación inicial.

b)  Velocidad cuando la elongación sea 5 cm.

c)  Elongación cuando la velocidad es de 70 cm/s.

d)  Aceleración cuando la elongación es 10 cm.

e)  Aceleración cuando la velocidad sea 30 cm/s.

 

 

Solución:

Datos: A = 15 cm; ω = 2π rad/s; φ0 = (π/2) rad

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ0)

v = A ω cos (ω t + φ0)

a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x

a)  Dato: t = 0

Elongación:

x0 = 15 cm·sen [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]

x0 = 15 cm

Velocidad:

v0 = 15 cm·2π (rad/s)·cos [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]

v0 = 0

Aceleración:

a0 = –15 cm·[2π (rad/s)]2·(sen [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]

a0 = –592 cm/s2

Inicialmente el móvil está parado en el extremo derecho de la trayectoria y tiene aceleración hacia la izquierda, lo que significa que en el siguiente instante estará moviéndose hacia la izquierda.

APLIC EC MAS 11, 16

b)  Dato: x1 = 5 cm

x1 = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = x1/A

sen2 (ω t + φ0) = (x1/A)2

v1 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v1/A·ω

cos2 (ω t + φ0) = (v1/A·ω)2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2

1 = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2

(v1/A·ω)2 = 1 – (x1/A)2

APLIC EC MAS 13, 1

 En cada posición se tienen dos velocidades iguales y contrarias (Excepto en cada uno de los extremos donde está una sola vez con velocidad cero)

x = 5 cm      v = 88,9 cm/s

APLIC EC MAS 11, 13

x = 5 cm      v = –88,9 cm/s

APLIC EC MAS 11, 14

x = 5 cm      v = 88,9 cm/s

APLIC EC MAS 11, 13

x = 5 cm      v = –88,9 cm/s

APLIC EC MAS 11, 14

…………

c)  Dato: v2 = 70 cm

Del apartado anterior tenemos que:

1 = (x2/A)2 + (v2/A·ω)2

(x2/A)2 = 1 – (v2/A·ω)2

APLIC EC MAS 13, 2

Cada velocidad se tiene en dos posiciones simétricas respecto al origen (Excepto la velocidad máxima de ida o vuelta que sólo se tiene en el origen)

x = 10 cm     v = 70 cm/s

APLIC EC MAS 11, 13

x =– 10 cm             v = 70 cm/s

APLIC EC MAS 11, 15

x = 10 cm     v = 70 cm/s

APLIC EC MAS 11, 13

x =– 10 cm             v = 70 cm/s

APLIC EC MAS 11, 15

…………

d)  Dato: x3 = 10 cm

a3 = –ω2 x3

a3 = –[2π (rad/s)]2·10 cm = –395 cm/s2

A cada posición le corresponde una única aceleración.

APLIC EC MAS 11, 16

e)  Dato: v4 = 30 cm/s

v4 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v4/A·ω

cos2 (ω t + φ0) = (v4/A·ω)2

a4 = –A ω2 sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = a4/(–A·ω2)

sen2 (ω t + φ0) = [a4/(–A·ω2)]2

sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = [a4/(–A·ω2)]2 + (v4/A·ω)2

1 = [a4/(–A·ω2)]2 + (v4/A·ω)2

[a4/(–A·ω2)]2 = 1 – (v4/A·ω)2

APLIC EC MAS 13, 3

A cada velocidad le corresponden dos aceleraciones iguales y contrarias (Excepto a la velocidad máxima de ida o vuelta que le corresponde aceleración cero)

v = 30 cm/s           a = –561 cm/s2

APLIC EC MAS 11, 1

v = 30 cm/s            a = 561 cm/s2

APLIC EC MAS 11, 4

v = 30 cm/s           a = –561 cm/s2

APLIC EC MAS 11, 1

v = 30 cm/s           a = 561 cm/s2

APLIC EC MAS 11, 4

…………

 

 


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