Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 13
La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 15 sen (2·π·t + π/2) (x:cm, t:s). Determina:
a) Situación inicial.
b) Velocidad cuando la elongación sea 5 cm.
c) Elongación cuando la velocidad es de 70 cm/s.
d) Aceleración cuando la elongación es 10 cm.
e) Aceleración cuando la velocidad sea 30 cm/s.
Solución:
Datos: A = 15 cm; ω = 2π rad/s; φ0 = (π/2) rad
Ecuaciones del movimiento:
x = A sen (ω t + φ0)
v = A ω cos (ω t + φ0)
a = –A ω2 sen (ω t + φ0) = –ω2 x
a) Dato: t = 0
Elongación:
x0 = 15 cm·sen [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]
x0 = 15 cm
Velocidad:
v0 = 15 cm·2π (rad/s)·cos [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]
v0 = 0
Aceleración:
a0 = –15 cm·[2π (rad/s)]2·(sen [2π (rad/s)·0 + (π/2) rad]
a0 = –592 cm/s2
Inicialmente el móvil está parado en el extremo derecho de la trayectoria y tiene aceleración hacia la izquierda, lo que significa que en el siguiente instante estará moviéndose hacia la izquierda.
b) Dato: x1 = 5 cm
x1 = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = x1/A
sen2 (ω t + φ0) = (x1/A)2
v1 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v1/A·ω
cos2 (ω t + φ0) = (v1/A·ω)2
sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2
1 = (x1/A)2 + (v1/A·ω)2
(v1/A·ω)2 = 1 – (x1/A)2
En cada posición se tienen dos velocidades iguales y contrarias (Excepto en cada uno de los extremos donde está una sola vez con velocidad cero)
x = 5 cm v = 88,9 cm/s
x = 5 cm v = –88,9 cm/s
x = 5 cm v = 88,9 cm/s
x = 5 cm v = –88,9 cm/s
…………
c) Dato: v2 = 70 cm
Del apartado anterior tenemos que:
1 = (x2/A)2 + (v2/A·ω)2
(x2/A)2 = 1 – (v2/A·ω)2
Cada velocidad se tiene en dos posiciones simétricas respecto al origen (Excepto la velocidad máxima de ida o vuelta que sólo se tiene en el origen)
x = 10 cm v = 70 cm/s
x =– 10 cm v = 70 cm/s
x = 10 cm v = 70 cm/s
x =– 10 cm v = 70 cm/s
…………
d) Dato: x3 = 10 cm
a3 = –ω2 x3
a3 = –[2π (rad/s)]2·10 cm = –395 cm/s2
A cada posición le corresponde una única aceleración.
e) Dato: v4 = 30 cm/s
v4 = A ω cos (ω t + φ0) → cos (ω t + φ0) = v4/A·ω
cos2 (ω t + φ0) = (v4/A·ω)2
a4 = –A ω2 sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = a4/(–A·ω2)
sen2 (ω t + φ0) = [a4/(–A·ω2)]2
sen2 (ω t + φ0) + cos2 (ω t + φ0) = [a4/(–A·ω2)]2 + (v4/A·ω)2
1 = [a4/(–A·ω2)]2 + (v4/A·ω)2
[a4/(–A·ω2)]2 = 1 – (v4/A·ω)2
A cada velocidad le corresponden dos aceleraciones iguales y contrarias (Excepto a la velocidad máxima de ida o vuelta que le corresponde aceleración cero)
v = 30 cm/s a = –561 cm/s2
v = 30 cm/s a = 561 cm/s2
v = 30 cm/s a = –561 cm/s2
v = 30 cm/s a = 561 cm/s2
…………