El Sapo Sabio

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 10 sen (π·t + π/4) (x:cm, t:s). Determina:

a)  Elongación, velocidad y aceleración en los instantes: t = 0; 0,25; 0,75; 1 s

b)  Cuándo pasará por el origen

c)  Cuándo la velocidad será de –5π cm/s

d)  Cuándo la aceleración será –5π² cm/s²

 

 

Solución:

Datos: A = 10 cm; ω = π rad/s; φ_{0 =} (π/4) rad

Ecuaciones del movimiento:

Posición:

x = A sen (ω t + φ₀)

Velocidad:

v = dx/dt = A ω cos (ω t + φ₀)

Aceleración:

a = dv/dt = –A ω² sen (ω t + φ₀) = – ω² x

a)  Como las incógnitas están despejadas basta con sustituir los valores del tiempo:

t₁ = 0 s

Elongación:

x₁ = 10 cm·sen [π (rad/s)·0 + (π/4) rad]

x₁ = 7,07 cm

Velocidad:

v₁ = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0 + (π/4) rad/s]

v₁ = 22,2 cm/s

Aceleración:

a₁ = –[π (rad/s)]²·7,07 cm = –69,8 cm/s²

Está a la derecha del observador (O) moviéndose hacia la derecha y frenando.

t₁ = 0,25 s

Elongación:

x₁ = 10 cm·sen [π (rad/s)·0,25 s + (π/4) rad]

x₁ = 10 cm·sen [(π/4) + (π/4)] rad

x₁ = 10 cm·sen (π/2) rad

x₁ = 10 cm

Velocidad:

v₁ = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0,25 s + (π/4) rad/s]

v₁ = 10 cm·π (rad/s)]·cos (π/2) rad

v₁ = 0

Aceleración:

a₁ = –[π (rad/s)]²·10 cm = –98,7 cm/s²

Está en el extremo derecho sin velocidad y con aceleración hacia la izquierda.

t₁ = 0,75 s

Elongación:

x₁ = 10 cm·sen [π (rad/s)·0,75 s + (π/4) rad]

x₁ = 0

Velocidad:

v₁ = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0,75 s + (π/4) rad/s]

v₁ = 10 cm·π (rad/s)]·cos (π) rad

v₁ = –31,4 cm/s

Aceleración:

a₁ = –[π (rad/s)]²·0 cm = 0 cm/s²

Está junto al observador (O) moviéndose hacia la izquierda sin aceleración.

t₁ = 1 s

Elongación:

x₁ = 10 cm·sen [π (rad/s)·1 s + (π/4) rad]

x₁ = 10 cm·sen (5π/4) rad

x₁ = –7,07 cm

Velocidad:

v₁ = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·1 s + (π/4) rad/s]

v₁ = 10 cm·π (rad/s)]·cos (5π/4) rad

v₁ = –22,2 cm/s

Aceleración:

a₁ = –[π (rad/s)]²·(–7,07 cm) cm = 69,8 cm/s²

Está a la izquierda del observador (O) moviéndose hacia la izquierda y frenando.

b)  Dato: x₂ = 0

0 = A sen (ω t₂ + φ₀)

 ω t₂ + φ₀  =  arc sen (0/A)

 π·(rad/s)·t₂ + (π/4) rad = arc sen 0

En general hay dos ángulos que tienen el mismo seno y su suma vale π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.

También tienen el mismo seno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)

Por ejemplo:

Calcula: arc sen (–0,3)

arc sen (–0,3) = –0,305 rad

Solución en función de π:

–0,305 rad = (–0,305 rad/π)·π rad = –0,0971π rad

Solución con signo positivo:

(2π – 0,0971π) rad = 1,903π rad

El otro ángulo que tiene el mismo seno:

(π – 1,903π) rad = –0,903π rad

Expresado con signo positivo:

(2π – 0,903π) rad = 1,097π rad

(Se puede ver que los dos ángulos suman 3π rad que es lo mismo que π rad)  

Volviendo al apartado que estamos resolviendo:

Primer caso:

π·(rad/s)·t₂ + (π/4) rad = (0 + 2kπ) rad

π·(rad/s)·t₂ +  = [2kπ – (π/4)] rad

t₂ = [2kπ – (π/4)] rad/π s = (–0,25 + 2k) s

Segundo caso:

π·(rad/s)·t₂ + (π/4) rad = (π + 2kπ) rad

π·(rad/s)·t₂ +  = [π + 2kπ – (π/4)] rad

t₂ = [π + 2kπ – (π/4)] rad/π s = (1 + 2k – 0,25) s

t₂ = (0,75 + 2k) s

Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (2 s)

Para el primer caso:

t₂ = (–0,25 + 2k) s

k = 0 → t₂ = –0,25 s (No)

k = 1 → t₂ = 1,75 s

k = 2 → t₂ = 3,75 s

. . .          . . .

Un valor negativo del tiempo no dice que en la primera oscilación (k = 0) la fase no toma el valor indicado.

En la primera oscilación la fase del móvil empieza en  π/4, luego no podrá valer 0. En las siguientes oscilaciones la fase ya empieza desde cero

Para el segundo caso:

t₂ = (0,75 + 2k) s

k = 0 → t₂ = 0,75 s

k = 1 → t₂ = 2,75 s

k = 2 → t₂ = 4,75 s

. . .          . . .

La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0: el móvil estará junto al observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la derecha, excepto en la primera oscilación.

Fase y estado del móvil:

Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:

x = A sen φ            v = A φ cos φ

φ = (ω t + φ₀)

Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.

φ = 0:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

La segunda serie de tiempos corresponde a una fase π: el móvil estará en el observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la izquierda. 

Fase y estado del móvil:

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando

En cada oscilación, el móvil pasa dos veces por cada posición y lo hace con velocidades iguales y opuestas (Excepto en cada uno de los extremos donde está una sola vez con velocidad cero)

Valores del tiempo ordenados: t₂ = 0,75; 1,75; 2,75; 3,75;…s 

t = 0,75 s     x = 0 

v = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0,75 s + (π/4) rad/s]

v = – 31,4 cm/s

t = 1,75 s     x = 0 cm      v = 31,4 cm/s

t = 2,75 s     x = 0 cm      v = – 31,4  cm/s

t = 3,75 s     x = 0 cm      v = 31,4 cm/s

t = 4,75 s     x = 0 cm      v =  – 31,4   cm/s

. . . . . . . .

(Los puntos suspensivos indican que se puede seguir dando valores a t)

c)  Dato: v₃ = –5π cm/s

v₃ = A ω cos (ω t₃ + φ₀)

ω t₃ + φ₀ = arc cos (v₃/A ω)

ω t₃ + φ₀ = arc cos [(–5π cm/s)/(10 cm)·(π)·(rad/s)]

En general hay dos ángulos que tienen el mismo coseno y su suma vale 2·π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.

También tienen el mismo coseno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)

Por ejemplo:

Calcula: arc cos (–0,7):

arc cos (–0,7) = 2,35 rad

Solución en función de π:

2,35 rad = (2,35 rad/π)·π rad = 0,748π rad

El otro ángulo que tiene el mismo coseno:

(2π – 0,748π) rad = 1,25π rad

Volviendo al apartado que estamos resolviendo:

Primer caso:

π (rad/s) t₃ + (π/4) rad = (0,67π + 2kπ) rad

t₃ = [(0,67π + 2kπ) – (π/4)] rad/π (rad/s)  

t₃ = (0,42 + 2k) s

Segundo caso:

π (rad/s) t₃ + (π/4) rad = (1,33π + 2kπ) rad

t₃ = [(1,33π + 2kπ) – (π/4)] rad/π (rad/s)  

t₃ = (1,08 + 2k) s

Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (2 s)

Para el primer caso:

t₃ = (0,42 + 2k) s

k = 0 → t₃ = 0,42 s

k = 1 → t₃ = 2,42 s

. . .          . . .

Para el segundo caso:

t₃ = (1,08 + 2k) s

k = 0 → t₃ = 1,08 s

k = 1 → t₃ = 3,08 s

. . .          . . .

La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,67π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la izquierda (v = –5π cm/s)

Fase y estado del móvil:

Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:

x = A sen φ            v = A φ cos φ

φ = (ω t + φ₀)

Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.

φ = 0:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha,

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando

La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 1,33π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la izquierda (v = –5π cm/s)

Fase y estado del móvil:

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma velocidad y las posiciones correspondientes son simétricas respecto al origen. (Excepto la velocidad máxima de ida y vuelta que sólo se tiene en una posición: el origen)

Valores del tiempo ordenados: t₃ = 0,42; 1,08; 2,42; 3,08;…s 

t = 0,42 s

x = 10 sen (π·0,42 + π/4)

x = 8,61 cm

v = –5π cm/s

t = 1,08 s               x = –8,61 cm          v =  –5π  cm/s

t = 2,428 s             x = 8,61 cm            v =  –5π  cm/s

t = 3,08 s               x = –8,61 cm          v =  –5π  cm/s

t = 4,42 s               x = 8,61 cm            v =  –5π  cm/s

. . . . . . . .

d)  Dato: a = –5π² cm/s²

a₄ = –A ω² sen (ω t₄ + φ₀)

ω t₄ + φ₀ = arc sen [a₄/(–A ω²)]

ω t₄ + φ₀ = arc sen [(–5π² cm/s²)/{(–10 cm)·[π·(rad/s)]²}

π·(rad/s)·t₄ + (π/4) rad = arc sen (0,159π rad)

Según lo dicho en el apartado b) sobre los ángulos que tienen el mismo seno y los que difieren en k·2π rad y el ejemplo dado en el citado apartado, tenemos que:

Primer caso:

π·(rad/s)·t₄ + (π/4) rad = (0,166π + 2kπ) rad

t₄ = [(0,166π – (π/4) + 2kπ] rad/π·(rad/s) = (–0,084 + 2k) s

Segundo caso:

π·(rad/s)·t₄ + (π/4) rad = (0,834π + 2kπ) rad

t₄ = [(0,834π – (π/4) + 2kπ] rad/π·(rad/s) = (0,584 + 2k) s

Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (2 s)

Para el primer caso:

t₄ = (–0,084 + 2k) s

k = 0 → t₄ = –0,084 s (No)

k = 1 → t₄ = 1,92  s

k = 2 → 3,92 s

. . .          . . .

Un valor negativo del tiempo nos dice que en la primera oscilación (k = 0) la fase no toma el valor indicado.

En la primera oscilación la fase del móvil empieza en  π/4, luego no podrá valer 0. En las siguientes oscilaciones la fase ya empieza desde cero y puede valer 0,166π.

Para el segundo caso:

t₄ = (0,584 + 2k) s

k = 0 → t₄ = 0,584 s

k = 1 → t₄ = 2,58 s

. . .          . . .

La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,166π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la derecha frenando (a = -5π² cm/s²), excepto en la primera oscilación.

Fase y estado del móvil:

Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:

x = A sen φ            v = A φ cos φ

φ = (ω t + φ₀)

Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 0,834π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la izquierda acelerando (a = -5π² cm/s²)

Fase y estado del móvil:

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma aceleración y las velocidades correspondientes son iguales y contrarias (En un caso irá frenando y en el otro acelerando)

Valores del tiempo ordenados: t₄ = 0,58; 1,92; 2,58; 3,92; 4,58;…s 

t = 0,58 s     x = 5 cm      v = –27 cm/s

t = 1,92 s     x = 5 cm      v =  27 cm/s

t = 2,58 s     x = 5 cm      v =  –27 cm/s

t = 3,92 s     x = 5 cm      v = 27 cm/s

t = 4,58 s     x = 5 cm      v =  –27 cm/s

. . . . . . . .