Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 12
La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 10 sen (π·t + π/4) (x:cm, t:s). Determina:
a) Elongación, velocidad y aceleración en los instantes: t = 0; 0,25; 0,75; 1 s
b) Cuándo pasará por el origen
c) Cuándo la velocidad será de –5π cm/s
d) Cuándo la aceleración será –5π2 cm/s2
Solución:
Datos: A = 10 cm; ω = π rad/s; φ0 = (π/4) rad
Ecuaciones del movimiento:
Posición:
x = A sen (ω t + φ0)
Velocidad:
v = dx/dt = A ω cos (ω t + φ0)
Aceleración:
a = dv/dt = –A ω2 sen (ω t + φ0) = – ω2 x
a) Como las incógnitas están despejadas basta con sustituir los valores del tiempo:
t1 = 0 s
Elongación:
x1 = 10 cm·sen [π (rad/s)·0 + (π/4) rad]
x1 = 7,07 cm
Velocidad:
v1 = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0 + (π/4) rad/s]
v1 = 22,2 cm/s
Aceleración:
a1 = –[π (rad/s)]2·7,07 cm = –69,8 cm/s2
Está a la derecha del observador (O) moviéndose hacia la derecha y frenando.
t1 = 0,25 s
Elongación:
x1 = 10 cm·sen [π (rad/s)·0,25 s + (π/4) rad]
x1 = 10 cm·sen [(π/4) + (π/4)] rad
x1 = 10 cm·sen (π/2) rad
x1 = 10 cm
Velocidad:
v1 = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0,25 s + (π/4) rad/s]
v1 = 10 cm·π (rad/s)]·cos (π/2) rad
v1 = 0
Aceleración:
a1 = –[π (rad/s)]2·10 cm = –98,7 cm/s2
Está en el extremo derecho sin velocidad y con aceleración hacia la izquierda.
t1 = 0,75 s
Elongación:
x1 = 10 cm·sen [π (rad/s)·0,75 s + (π/4) rad]
x1 = 0
Velocidad:
v1 = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0,75 s + (π/4) rad/s]
v1 = 10 cm·π (rad/s)]·cos (π) rad
v1 = –31,4 cm/s
Aceleración:
a1 = –[π (rad/s)]2·0 cm = 0 cm/s2
Está junto al observador (O) moviéndose hacia la izquierda sin aceleración.
t1 = 1 s
Elongación:
x1 = 10 cm·sen [π (rad/s)·1 s + (π/4) rad]
x1 = 10 cm·sen (5π/4) rad
x1 = –7,07 cm
Velocidad:
v1 = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·1 s + (π/4) rad/s]
v1 = 10 cm·π (rad/s)]·cos (5π/4) rad
v1 = –22,2 cm/s
Aceleración:
a1 = –[π (rad/s)]2·(–7,07 cm) cm = 69,8 cm/s2
Está a la izquierda del observador (O) moviéndose hacia la izquierda y frenando.
b) Dato: x2 = 0
0 = A sen (ω t2 + φ0)
ω t2 + φ0 = arc sen (0/A)
π·(rad/s)·t2 + (π/4) rad = arc sen 0
En general hay dos ángulos que tienen el mismo seno y su suma vale π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.
También tienen el mismo seno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)
Por ejemplo:
Calcula: arc sen (–0,3)
arc sen (–0,3) = –0,305 rad
Solución en función de π:
–0,305 rad = (–0,305 rad/π)·π rad = –0,0971π rad
Solución con signo positivo:
(2π – 0,0971π) rad = 1,903π rad
El otro ángulo que tiene el mismo seno:
(π – 1,903π) rad = –0,903π rad
Expresado con signo positivo:
(2π – 0,903π) rad = 1,097π rad
(Se puede ver que los dos ángulos suman 3π rad que es lo mismo que π rad)
Volviendo al apartado que estamos resolviendo:
Primer caso:
π·(rad/s)·t2 + (π/4) rad = (0 + 2kπ) rad
π·(rad/s)·t2 + = [2kπ – (π/4)] rad
t2 = [2kπ – (π/4)] rad/π s = (–0,25 + 2k) s
Segundo caso:
π·(rad/s)·t2 + (π/4) rad = (π + 2kπ) rad
π·(rad/s)·t2 + = [π + 2kπ – (π/4)] rad
t2 = [π + 2kπ – (π/4)] rad/π s = (1 + 2k – 0,25) s
t2 = (0,75 + 2k) s
Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (2 s)
Para el primer caso:
t2 = (–0,25 + 2k) s
k = 0 → t2 = –0,25 s (No)
k = 1 → t2 = 1,75 s
k = 2 → t2 = 3,75 s
. . . . . .
Un valor negativo del tiempo no dice que en la primera oscilación (k = 0) la fase no toma el valor indicado.
En la primera oscilación la fase del móvil empieza en π/4, luego no podrá valer 0. En las siguientes oscilaciones la fase ya empieza desde cero
Para el segundo caso:
t2 = (0,75 + 2k) s
k = 0 → t2 = 0,75 s
k = 1 → t2 = 2,75 s
k = 2 → t2 = 4,75 s
. . . . . .
La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0: el móvil estará junto al observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la derecha, excepto en la primera oscilación.
Fase y estado del móvil:
Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:
x = A sen φ v = A φ cos φ
φ = (ω t + φ0)
Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
La segunda serie de tiempos corresponde a una fase π: el móvil estará en el observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la izquierda.
Fase y estado del móvil:
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando
En cada oscilación, el móvil pasa dos veces por cada posición y lo hace con velocidades iguales y opuestas (Excepto en cada uno de los extremos donde está una sola vez con velocidad cero)
Valores del tiempo ordenados: t2 = 0,75; 1,75; 2,75; 3,75;…s
t = 0,75 s x = 0
v = 10 cm·π (rad/s)]·cos [π (rad/s)·0,75 s + (π/4) rad/s]
v = – 31,4 cm/s
t = 1,75 s x = 0 cm v = 31,4 cm/s
t = 2,75 s x = 0 cm v = – 31,4 cm/s
t = 3,75 s x = 0 cm v = 31,4 cm/s
t = 4,75 s x = 0 cm v = – 31,4 cm/s
. . . . . . . .
(Los puntos suspensivos indican que se puede seguir dando valores a t)
c) Dato: v3 = –5π cm/s
v3 = A ω cos (ω t3 + φ0)
ω t3 + φ0 = arc cos (v3/A ω)
ω t3 + φ0 = arc cos [(–5π cm/s)/(10 cm)·(π)·(rad/s)]
En general hay dos ángulos que tienen el mismo coseno y su suma vale 2·π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.
También tienen el mismo coseno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)
Por ejemplo:
Calcula: arc cos (–0,7):
arc cos (–0,7) = 2,35 rad
Solución en función de π:
2,35 rad = (2,35 rad/π)·π rad = 0,748π rad
El otro ángulo que tiene el mismo coseno:
(2π – 0,748π) rad = 1,25π rad
Volviendo al apartado que estamos resolviendo:
Primer caso:
π (rad/s) t3 + (π/4) rad = (0,67π + 2kπ) rad
t3 = [(0,67π + 2kπ) – (π/4)] rad/π (rad/s)
t3 = (0,42 + 2k) s
Segundo caso:
π (rad/s) t3 + (π/4) rad = (1,33π + 2kπ) rad
t3 = [(1,33π + 2kπ) – (π/4)] rad/π (rad/s)
t3 = (1,08 + 2k) s
Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (2 s)
Para el primer caso:
t3 = (0,42 + 2k) s
k = 0 → t3 = 0,42 s
k = 1 → t3 = 2,42 s
. . . . . .
Para el segundo caso:
t3 = (1,08 + 2k) s
k = 0 → t3 = 1,08 s
k = 1 → t3 = 3,08 s
. . . . . .
La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,67π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la izquierda (v = –5π cm/s)
Fase y estado del móvil:
Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:
x = A sen φ v = A φ cos φ
φ = (ω t + φ0)
Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha,
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando
La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 1,33π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la izquierda (v = –5π cm/s)
Fase y estado del móvil:
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma velocidad y las posiciones correspondientes son simétricas respecto al origen. (Excepto la velocidad máxima de ida y vuelta que sólo se tiene en una posición: el origen)
Valores del tiempo ordenados: t3 = 0,42; 1,08; 2,42; 3,08;…s
t = 0,42 s
x = 10 sen (π·0,42 + π/4)
x = 8,61 cm
v = –5π cm/s
t = 1,08 s x = –8,61 cm v = –5π cm/s
t = 2,428 s x = 8,61 cm v = –5π cm/s
t = 3,08 s x = –8,61 cm v = –5π cm/s
t = 4,42 s x = 8,61 cm v = –5π cm/s
. . . . . . . .
d) Dato: a = –5π2 cm/s2
a4 = –A ω2 sen (ω t4 + φ0)
ω t4 + φ0 = arc sen [a4/(–A ω2)]
ω t4 + φ0 = arc sen [(–5π2 cm/s2)/{(–10 cm)·[π·(rad/s)]2}
π·(rad/s)·t4 + (π/4) rad = arc sen (0,159π rad)
Según lo dicho en el apartado b) sobre los ángulos que tienen el mismo seno y los que difieren en k·2π rad y el ejemplo dado en el citado apartado, tenemos que:
Primer caso:
π·(rad/s)·t4 + (π/4) rad = (0,166π + 2kπ) rad
t4 = [(0,166π – (π/4) + 2kπ] rad/π·(rad/s) = (–0,084 + 2k) s
Segundo caso:
π·(rad/s)·t4 + (π/4) rad = (0,834π + 2kπ) rad
t4 = [(0,834π – (π/4) + 2kπ] rad/π·(rad/s) = (0,584 + 2k) s
Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (2 s)
Para el primer caso:
t4 = (–0,084 + 2k) s
k = 0 → t4 = –0,084 s (No)
k = 1 → t4 = 1,92 s
k = 2 → 3,92 s
. . . . . .
Un valor negativo del tiempo nos dice que en la primera oscilación (k = 0) la fase no toma el valor indicado.
En la primera oscilación la fase del móvil empieza en π/4, luego no podrá valer 0. En las siguientes oscilaciones la fase ya empieza desde cero y puede valer 0,166π.
Para el segundo caso:
t4 = (0,584 + 2k) s
k = 0 → t4 = 0,584 s
k = 1 → t4 = 2,58 s
. . . . . .
La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,166π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la derecha frenando (a = -5π2 cm/s2), excepto en la primera oscilación.
Fase y estado del móvil:
Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:
x = A sen φ v = A φ cos φ
φ = (ω t + φ0)
Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 0,834π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la izquierda acelerando (a = -5π2 cm/s2)
Fase y estado del móvil:
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma aceleración y las velocidades correspondientes son iguales y contrarias (En un caso irá frenando y en el otro acelerando)
Valores del tiempo ordenados: t4 = 0,58; 1,92; 2,58; 3,92; 4,58;…s
t = 0,58 s x = 5 cm v = –27 cm/s
t = 1,92 s x = 5 cm v = 27 cm/s
t = 2,58 s x = 5 cm v = –27 cm/s
t = 3,92 s x = 5 cm v = 27 cm/s
t = 4,58 s x = 5 cm v = –27 cm/s
. . . . . . . .