El Sapo Sabio

 

c)  Dato: v₃ = 3,54π cm/s

v₃ = A ω cos (ω t₃)

ω t₃ = arc cos (v₃/A ω)

ω t₃ = arc cos [(3,54π cm/s)/(20 cm)·(π/4)·(rad/s)]

(π/4)·(rad/s)·t₃ = arc cos (0,225π rad)

En general hay dos ángulos que tienen el mismo coseno y su suma vale 2·π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.

También tienen el mismo coseno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)

Por ejemplo:

Calcula: arc cos (–0,7):

arc cos (–0,7) = 2,35 rad

Solución en función de π:

2,35 rad = (2,35 rad/π)·π rad = 0,748π rad

El otro ángulo que tiene el mismo coseno:

(2π – 0,748π) rad = 1,25π rad

Volviendo al apartado que estamos resolviendo:

Primer caso:

(π/4)·(rad/s)·t₃ = (0,25π + 2kπ) rad

t₃ = (0,25π + 2kπ)/(π/4) s = (1 + 8 k) s

Segundo caso:

(π/4)·(rad/s)·t = (1,75π + 2kπ) rad

t₃ = (1,75π + 2kπ)/(π/4) s = (7 + 8 k) s

Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (8 s)

Para el primer caso:

t₃ = (1 + 8 k) s

k = 0 → t₃ = 1 s

k = 1 → t₃ = 9 s

. . .          . . .

Para el segundo caso:

t₃ = (7 + 8k) s

k = 0 → t₃ = 7 s

k = 1 → t₃ = 15 s

. . .          . . .

La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,25π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la derecha (v = 3,54π cm/s)

Fase y estado del móvil:

Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:

x = A sen φ            v = A φ cos φ

φ = (ω t + φ₀)

Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.

φ = 0:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha,

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando

La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 1,75π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la derecha (v = 3,54π cm/s)

Fase y estado del móvil:

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma velocidad y las posiciones correspondientes son simétricas respecto al origen.

Valores del tiempo ordenados: t₃ = 1, 7, 9, 15,…s 

t = 1 s                   x = 14,2 cm  v = 3,54π cm/s

t = 7 s                   x = –14,2 cm          v =  3,54π cm/s

t = 9 s                   x = 14,2 cm  v =  3,54π cm/s

t = 15 s                 x = –14,2 cm          v =  3,54π cm/s

t = 17 s                 x = 14,2 cm            v =  3,54π cm/s

. . . . . . . .

d)  Dato: a = 1,08π² cm/s²

a₄ = –A ω² sen (ω t₄)

ω t₄ = arc sen [a₄/(–A ω²)]

ω t₄ = arc sen [(1,08π² cm/s²)/{(–20 cm)·[(π/4)·(rad/s)]²}

(π/4)·(rad/s)·t₄ = arc sen (–0,275π rad)

Según lo dicho en el apartado b) sobre los ángulos que tienen el mismo seno y los que difieren en k·2π rad y el ejemplo dado en el citado apartado, tenemos que:

Primer caso:

(π/4)·(rad/s)·t₄ = (1,33π + 2kπ) rad

t₄ = (1,33π + 2kπ) rad/(π/4)·(rad/s) = (5,32 + 8 k) s

Segundo caso:

(π/4)·(rad/s)·t₄ = (1,67π + 2kπ) rad

t₄ = (1,67π + 2kπ) rad/(π/4)·(rad/s) = (6,68 + 8 k) s

Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (8 s)

Para el primer caso:

t₄ = (5,32 + 8 k) s

k = 0 → t₄ = 5,32 s

k = 1 → t₄ = 13,3 s

. . .          . . .

Para el segundo caso:

t₄ = (6,68 + 8 k) s

k = 0 → t₄ = 6,68 s

k = 1 → t₄ = 14,7 s

. . .          . . .

La primera serie de tiempos corresponde a una fase 1,33π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la izquierda frenando (a = 1,08π² cm/s²)

Fase y estado del móvil:

Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:

x = A sen φ            v = A φ cos φ

φ = (ω t + φ₀)

Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 1,67π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la derecha acelerando (a = 1,08π² cm/s²)

Fase y estado del móvil:

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma aceleración y las velocidades correspondientes son iguales y contrarias (En un caso irá frenando y en el otro acelerando)

Valores del tiempo ordenados: t₄ = 5,32,  6,68,  13,3,  14,7,…s 

t = 5,32 s     x = –17,2 cm          v = –8 cm/s

t = 6,68 s     x = –17,2 cm          v =  8 cm/s

t = 13,32 s    x = –17,2 cm          v =  –8 cm/s

t = 14,68 s    x = –17,2 cm          v =  8 cm/s

t = 21,32 s    x = –17,2 cm          v =  –8 cm/s

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