Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 11 (2ª parte)
c) Dato: v3 = 3,54π cm/s
v3 = A ω cos (ω t3)
ω t3 = arc cos (v3/A ω)
ω t3 = arc cos [(3,54π cm/s)/(20 cm)·(π/4)·(rad/s)]
(π/4)·(rad/s)·t3 = arc cos (0,225π rad)
En general hay dos ángulos que tienen el mismo coseno y su suma vale 2·π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.
También tienen el mismo coseno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)
Por ejemplo:
Calcula: arc cos (–0,7):
arc cos (–0,7) = 2,35 rad
Solución en función de π:
2,35 rad = (2,35 rad/π)·π rad = 0,748π rad
El otro ángulo que tiene el mismo coseno:
(2π – 0,748π) rad = 1,25π rad
Volviendo al apartado que estamos resolviendo:
Primer caso:
(π/4)·(rad/s)·t3 = (0,25π + 2kπ) rad
t3 = (0,25π + 2kπ)/(π/4) s = (1 + 8 k) s
Segundo caso:
(π/4)·(rad/s)·t = (1,75π + 2kπ) rad
t3 = (1,75π + 2kπ)/(π/4) s = (7 + 8 k) s
Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (8 s)
Para el primer caso:
t3 = (1 + 8 k) s
k = 0 → t3 = 1 s
k = 1 → t3 = 9 s
. . . . . .
Para el segundo caso:
t3 = (7 + 8k) s
k = 0 → t3 = 7 s
k = 1 → t3 = 15 s
. . . . . .
La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,25π: el móvil estará a la derecha del observador moviéndose hacia la derecha (v = 3,54π cm/s)
Fase y estado del móvil:
Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:
x = A sen φ v = A φ cos φ
φ = (ω t + φ0)
Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha,
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando
La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 1,75π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la derecha (v = 3,54π cm/s)
Fase y estado del móvil:
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma velocidad y las posiciones correspondientes son simétricas respecto al origen.
Valores del tiempo ordenados: t3 = 1, 7, 9, 15,…s
t = 1 s x = 14,2 cm v = 3,54π cm/s
t = 7 s x = –14,2 cm v = 3,54π cm/s
t = 9 s x = 14,2 cm v = 3,54π cm/s
t = 15 s x = –14,2 cm v = 3,54π cm/s
t = 17 s x = 14,2 cm v = 3,54π cm/s
. . . . . . . .
d) Dato: a = 1,08π2 cm/s2
a4 = –A ω2 sen (ω t4)
ω t4 = arc sen [a4/(–A ω2)]
ω t4 = arc sen [(1,08π2 cm/s2)/{(–20 cm)·[(π/4)·(rad/s)]2}
(π/4)·(rad/s)·t4 = arc sen (–0,275π rad)
Según lo dicho en el apartado b) sobre los ángulos que tienen el mismo seno y los que difieren en k·2π rad y el ejemplo dado en el citado apartado, tenemos que:
Primer caso:
(π/4)·(rad/s)·t4 = (1,33π + 2kπ) rad
t4 = (1,33π + 2kπ) rad/(π/4)·(rad/s) = (5,32 + 8 k) s
Segundo caso:
(π/4)·(rad/s)·t4 = (1,67π + 2kπ) rad
t4 = (1,67π + 2kπ) rad/(π/4)·(rad/s) = (6,68 + 8 k) s
Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (8 s)
Para el primer caso:
t4 = (5,32 + 8 k) s
k = 0 → t4 = 5,32 s
k = 1 → t4 = 13,3 s
. . . . . .
Para el segundo caso:
t4 = (6,68 + 8 k) s
k = 0 → t4 = 6,68 s
k = 1 → t4 = 14,7 s
. . . . . .
La primera serie de tiempos corresponde a una fase 1,33π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la izquierda frenando (a = 1,08π2 cm/s2)
Fase y estado del móvil:
Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:
x = A sen φ v = A φ cos φ
φ = (ω t + φ0)
Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 1,67π: el móvil estará a la izquierda del observador moviéndose hacia la derecha acelerando (a = 1,08π2 cm/s2)
Fase y estado del móvil:
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
En cada oscilación, el móvil tiene dos veces la misma aceleración y las velocidades correspondientes son iguales y contrarias (En un caso irá frenando y en el otro acelerando)
Valores del tiempo ordenados: t4 = 5,32, 6,68, 13,3, 14,7,…s
t = 5,32 s x = –17,2 cm v = –8 cm/s
t = 6,68 s x = –17,2 cm v = 8 cm/s
t = 13,32 s x = –17,2 cm v = –8 cm/s
t = 14,68 s x = –17,2 cm v = 8 cm/s
t = 21,32 s x = –17,2 cm v = –8 cm/s
. . . . . . . .