Aplicación de la ecuación del movimiento armónico 11 (1ª parte)
La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 20 sen (π·t/4) (x:cm, t:s). Calcula:
a) Elongación, velocidad y aceleración en los instantes: t = 0,5; 2,5; 5; 6,5 s
b) Cuándo la elongación será de 10 cm.
c) Cuándo la velocidad será 3,54·π cm/s.
d) Cuándo la aceleración será 1,08·π2 cm/s2
Solución:
Datos: A = 20 cm; ω = (π/4) rad; φ0 = 0
Ecuaciones del movimiento:
Posición:
x = A sen (ω t + φ0)
Velocidad:
v = dx/dt = A ω cos (ω t + φ0)
Aceleración:
a = dv/dt = –A ω2 sen (ω t + φ0) = – ω2 x
a) Como las incógnitas están despejadas basta con sustituir los valores del tiempo:
t1 = 0,5 s
Elongación:
x1 = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·0,5 s] = 20 cm·sen [(π/8) rad]
x1 = 7,65 cm
Velocidad:
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·0,5 s]
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/8) rad]
v1 = 14,5 cm/s
Aceleración:
a1 = –[(π/4)(rad/s)]2·7,65 cm = –4,72 cm/s2
Está a la derecha del observador (O) moviéndose hacia la derecha y frenando.
t1 = 2,5 s
Elongación:
x1 = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·2,5 s] = 20 cm·sen (0,625π rad)
x1 = 18,5 cm
Velocidad:
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·2,5 s]
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos (0,625π rad)
v1 = –6,01 cm/s
Aceleración:
a1 = –[(π/4)(rad/s)]2·18,5 cm = –11,4 cm/s2
Está a la derecha del observador (O) moviéndose hacia la izquierda y acelerando.
t1 = 5 s
Elongación:
x1 = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·5 s] = 20 cm·sen (1,25π rad)
x1 = –14,1 cm
Velocidad:
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·5 s]
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos (1,25π rad)
v1 = –11,1 cm/s
Aceleración:
a1 = –[(π/4)(rad/s)]2·(–14,1) cm = 8,7 cm/s2
Está a la izquierda del observador (O) moviéndose hacia la izquierda y frenando.
t1 = 6,5 s
Elongación:
x1 = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·6,5 s] = 20 cm·sen (1,625π rad)
x1 = –18,5 cm
Velocidad:
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·6,5 s]
v1 = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos (1,625π rad)
v1 = 6,01 cm/s
Aceleración:
a1 = –[(π/4)(rad/s)]2·(–18,5 cm) = 11,4 cm/s2
Está a la izquierda del observador (O) moviéndose hacia la derecha y acelerando.
b) Dato: x2 = 10 cm
x2 = A sen (ω t2)
sen ω t2 = x2/A
ω t2 = arc sen (10 cm/20 cm)
(π/4)·(rad/s)·t2 = arc sen [(1/2) rad]
En general hay dos ángulos que tienen el mismo seno y su suma vale π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.
También tienen el mismo seno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)
Por ejemplo:
Calcula: arc sen (–0,3)
arc sen (–0,3) = –0,305 rad
Solución en función de π:
–0,305 rad = (–0,305 rad/π)·π rad = –0,0971π rad
Solución con signo positivo:
(2π – 0,0971π) rad = 1,903π rad
El otro ángulo que tiene el mismo seno:
(π – 1,903π) rad = –0,903π rad
Expresado con signo positivo:
(2π – 0,903π) rad = 1,097π rad
(Se puede ver que los dos ángulos suman 3π rad que es lo mismo que π rad)
Volviendo al apartado que estamos resolviendo:
Primer caso:
(π/4)·(rad/s)·t2 = (0,17π + 2kπ) rad
t2 = (0,17π + 2kπ)/(π/4) s = (0,68 + 8k) s
Segundo caso:
(π/4)·(rad/s)·t2 = (0,83π + 2kπ) rad
t2 = (0,83π + 2kπ)/(π/4) s = (3,32 + 8k) s
Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (8 s)
Para el primer caso:
t2 = (0,68 + 8k) s
k = 0 → t2 = 0,68 s
k = 1 → t2 = 8,68 s
k = 2 → t2 = 16,68 s
. . . . . .
Para el segundo caso:
t2 = (3,32 + 8k) s
k = 0 → t2 = 3,32 s
k = 1 → t2 = 11,32 s
k = 2 → t2 = 19,32 s
. . . . . .
La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,17π: el móvil estará a la derecha del observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la derecha.
Fase y estado del móvil:
Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:
x = A sen φ v = A φ cos φ
φ = (ω t + φ0)
Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 0,83π: el móvil estará a la derecha del observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la izquierda.
Fase y estado del móvil:
φ = 0:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.
0 < φ < π/2:
Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando
φ = π/2:
Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.
π/2 < φ < π:
Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.
φ = π:
Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.
π < φ < 3·π/2:
Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.
φ = 3·π/2:
Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.
3·π/2 < φ < 2·π:
Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.
En cada oscilación, el móvil pasa dos veces por cada posición y lo hace con velocidades iguales y opuestas (Excepto en cada uno de los extremos donde está una sola vez con velocidad cero)
Valores del tiempo ordenados: t2 = 0,68, 3,32, 8,68, 11,3,…s
t = 0,68 s x = 10 cm
v = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·0,68 s] = 13,6 cm/s
t = 3,32 s x = 10 cm v = –13,6 cm/s
t = 8,68 s x = 10 cm v = 13,6 cm/s
t = 11,32 s x = 10 cm v = –13,6 cm/s
t = 16,68 s x = 10 cm v = 13,6 cm/s
(Los puntos suspensivos indican que se puede seguir dando valores a t)
¿Has notado que entre dos pasos consecutivos no transcurre el mismo tiempo?
¿Sabes por qué?
Por la variación de la aceleración con respecto a la longitud recorrida.