El Sapo Sabio

 

La ecuación de posición de un m.a.s es: x = 20 sen (π·t/4) (x:cm, t:s). Calcula:

a)  Elongación, velocidad y aceleración en los instantes: t = 0,5; 2,5; 5; 6,5 s

b)  Cuándo la elongación será de 10 cm.

c)  Cuándo la velocidad será 3,54·π cm/s.

d)  Cuándo la aceleración será 1,08·π² cm/s²

 

 

Solución:

Datos: A = 20 cm; ω = (π/4) rad; φ₀ = 0

Ecuaciones del movimiento:

Posición:

x = A sen (ω t + φ₀)

Velocidad:

v = dx/dt = A ω cos (ω t + φ₀)

Aceleración:

a = dv/dt = –A ω² sen (ω t + φ₀) = – ω² x

a)  Como las incógnitas están despejadas basta con sustituir los valores del tiempo:

t₁ = 0,5 s

Elongación:

x₁ = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·0,5 s] = 20 cm·sen [(π/8) rad]

x₁ = 7,65 cm

Velocidad:

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·0,5 s]

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/8) rad]

v₁ = 14,5 cm/s

Aceleración:

a₁ = –[(π/4)(rad/s)]²·7,65 cm = –4,72 cm/s²

Está a la derecha del observador (O) moviéndose hacia la derecha y frenando.

t₁ = 2,5 s

Elongación:

x₁ = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·2,5 s] = 20 cm·sen (0,625π rad)

x₁ = 18,5 cm

Velocidad:

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·2,5 s]

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos (0,625π rad)

v₁ = –6,01 cm/s

Aceleración:

a₁ = –[(π/4)(rad/s)]²·18,5 cm = –11,4 cm/s²

Está a la derecha del observador (O) moviéndose hacia la izquierda y acelerando.

t₁ = 5 s

Elongación:

x₁ = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·5 s] = 20 cm·sen (1,25π rad)

x₁ = –14,1 cm

Velocidad:

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·5 s]

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos (1,25π rad)

v₁ = –11,1 cm/s

Aceleración:

a₁ = –[(π/4)(rad/s)]²·(–14,1) cm = 8,7 cm/s²

Está a la izquierda del observador (O) moviéndose hacia la izquierda y frenando.

t₁ = 6,5 s

Elongación:

x₁ = 20 cm·sen [(π/4)(rad/s)·6,5 s] = 20 cm·sen (1,625π rad)

x₁ = –18,5 cm

Velocidad:

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·6,5 s]

v₁ = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos (1,625π rad)

v₁ = 6,01 cm/s

Aceleración:

a₁ = –[(π/4)(rad/s)]²·(–18,5 cm) = 11,4 cm/s²

Está a la izquierda del observador (O) moviéndose hacia la derecha y acelerando.

b)  Dato: x₂ = 10 cm

x₂ = A sen (ω t₂)

sen ω t₂ = x₂/A

 ω t₂ = arc sen (10 cm/20 cm)

(π/4)·(rad/s)·t₂ = arc sen [(1/2) rad]

En general hay dos ángulos que tienen el mismo seno y su suma vale π rad. Es conveniente dar estos ángulos con signo positivo y en función de π.

También tienen el mismo seno todos los ángulo que difieren en k·2π rad (En este caso k es el número de oscilación que vale: 0, 1, 2,…)

Por ejemplo:

Calcula: arc sen (–0,3)

arc sen (–0,3) = –0,305 rad

Solución en función de π:

–0,305 rad = (–0,305 rad/π)·π rad = –0,0971π rad

Solución con signo positivo:

(2π – 0,0971π) rad = 1,903π rad

El otro ángulo que tiene el mismo seno:

(π – 1,903π) rad = –0,903π rad

Expresado con signo positivo:

(2π – 0,903π) rad = 1,097π rad

(Se puede ver que los dos ángulos suman 3π rad que es lo mismo que π rad)  

Volviendo al apartado que estamos resolviendo:

Primer caso:

(π/4)·(rad/s)·t₂ = (0,17π + 2kπ) rad

t₂ = (0,17π + 2kπ)/(π/4) s = (0,68 + 8k) s

Segundo caso:

(π/4)·(rad/s)·t₂ = (0,83π + 2kπ) rad

t₂ = (0,83π + 2kπ)/(π/4) s = (3,32 + 8k) s

Se han obtenido dos series de infinitos valores del tiempo separados por el valor del período (8 s)

Para el primer caso:

t₂ = (0,68 + 8k) s

k = 0 → t₂ = 0,68 s

k = 1 → t₂ = 8,68 s

k = 2 → t₂ = 16,68 s

. . .          . . .

Para el segundo caso:

t₂ = (3,32 + 8k) s

k = 0 → t₂ = 3,32 s

k = 1 → t₂ = 11,32 s

k = 2 → t₂ = 19,32 s

. . .          . . .

La primera serie de tiempos corresponde a una fase 0,17π: el móvil estará a la derecha del observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la derecha.

Fase y estado del móvil:

Las ecuaciones del m.a.s se pueden poner así:

x = A sen φ            v = A φ cos φ

φ = (ω t + φ₀)

Los valores de φ entre 0 y 2π determinan la posición y la velocidad.

φ = 0:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha, sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando.

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda, sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

La segunda serie de tiempos corresponde a una fase 0,83π: el móvil estará a la derecha del observador, O, (x = 10 cm) moviéndose hacia la izquierda. 

Fase y estado del móvil:

φ = 0: 

Está en el origen con velocidad máxima hacia la derecha sin aceleración.

0 < φ < π/2:

Está entre el origen y el extremo derecho moviéndose hacia este frenando

φ = π/2:

Está parado en el extremo derecho con aceleración máxima hacia la izquierda.

π/2 < φ < π:

Está entre el extremo derecho y el origen moviéndose hacia este acelerando.

φ = π:

Está en el origen con velocidad máxima hacia la izquierda sin aceleración.

π < φ < 3·π/2:

Está entre el origen y el extremo izquierdo moviéndose hacia este frenando.

φ = 3·π/2:

Está parado en el extremo izquierdo con aceleración máxima hacia la derecha.

3·π/2 < φ < 2·π:

Está entre el extremo izquierdo y el origen moviéndose hacia este acelerando.

En cada oscilación, el móvil pasa dos veces por cada posición y lo hace con velocidades iguales y opuestas (Excepto en cada uno de los extremos donde está una sola vez con velocidad cero)

Valores del tiempo ordenados: t₂ = 0,68,  3,32,  8,68,  11,3,…s 

t = 0,68 s     x = 10 cm

v = 20 cm·[(π/4)(rad/s)]·cos [(π/4)(rad/s)·0,68 s] = 13,6 cm/s

t = 3,32 s     x = 10 cm     v = –13,6 cm/s

t = 8,68 s     x = 10 cm     v = 13,6 cm/s

t = 11,32 s    x = 10 cm     v = –13,6 cm/s

t = 16,68 s    x = 10 cm     v =  13,6 cm/s

. . . . . . . .

(Los puntos suspensivos indican que se puede seguir dando valores a t)

¿Has notado que entre dos pasos consecutivos no transcurre el mismo tiempo?

¿Sabes por qué?

Por la variación de la aceleración con respecto a la longitud recorrida.