El Sapo Sabio

 

Halla la amplitud y el período de un movimiento vibratorio armónico simple sabiendo que su velocidad y aceleración máximas son 3 cm/s y 30 cm/s² respectivamente y escribe la expresión de la elongación en función del tiempo, si cuando t = 0 el móvil se encuentra en la posición de máxima elongación.

 

 

Solución:

Datos: v_max = 3 cm/s; a_max = 30 cm/s²

Ecuaciones del movimiento:

x = A sen (ω t + φ₀)

v = A ω cos (ω t + φ₀)

a = –A ω² sen (ω t + φ₀)

Elongación, velocidad y aceleración máximas:

Son los valores máximos de los módulos de estas magnitudes. Se obtienen tomado el valor absoluto de la magnitud cuando la razón trigonométrica es 1, o sea:

x_max = A, v_max = A ω, a_max = A ω²

Amplitud:

v_max = A ω → A = v_max/ω

a_max = A ω² = (v_max/ω)·ω² = v_max·ω

ω = a_max/v_max = (30 cm/s²)/(3 cm/s) = 10 rad/s

A = (3 cm/s)/(10 rad/s) = 0,3 cm

Período:

ω = 2π/T → T = 2π/ω = 2π rad/(10 rad/s) = 0,63 s

Expresión de la elongación:

x = 0,3 sen (10 t + φ₀)

Si t = 0 → x_max, luego:

sen (ω·0 + φ₀) = 1 → φ₀ = π/2 rad

x = 0,3 sen [10 t + (π/2)]