El Sapo Sabio

 

Un disco de 20 cm de diámetro está girando cuando se le aplica un freno de forma que se detiene en 4 s, habiendo dado una vuelta completa. Calcula:

a)  Velocidad inicial y aceleración de frenado.

b)  Aceleración de un punto de la periferia en el instante inicial y ángulo formado por velocidad y aceleración.

 

 

Solución:

Datos: D = 20 cm; t = 4 s → ω = 0 → φ = 1 v

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ – α t           φ = ω₀ t – (1/2) α t²

a)  De la primera ecuación despejaremos la velocidad angular inicial:

ω₀ = ω + a t

Cuando el disco se detiene ω = 0, por tanto

ω₀ = a t → a = ω₀/t

Ahora sustituiremos en la segunda ecuación:

φ = ω₀ t – (1/2) (ω₀/t) t²

φ = ω₀ t – (1/2) ω₀ t

φ = (1/2) ω₀ t

ω₀ = 2 φ/t

Velocidad inicial:

 ω₀ = 2·1 v/4s = 2·2 π rad/4 s = π rad/s

Aceleración de frenado:

a = (π rad/s)/4 s = (π/4) rad/s²

b)  Aceleración tangencial:

a_t = a R

 

 

Sea γ el ángulo formado por la velocidad y la aceleración inicial, luego:

γ = 90º + θ

siendo cos θ = a_n/a.

Ecuaciones de la aceleración:

a² = a_t² + a_n²

Aceleración tangencial (a_t):

a_t = α R

        

Aceleración normal (a_n):

a_n = v₀²/R = (ω₀ R)²/R = ω₀² R

θ = arc cos 0,997 = 0,077 rad (180º/θ rad) = 4,44º

γ = 90º + 4,44º = 94,44º

También se puede hacer de la siguiente forma:

tg θ = a_t/a_n

a_n = ω₀² R

tg θ = a_t/ω₀² R → θ = arc tg (a_t/ω₀² R)

θ = 8,11·10^–2 rad (180º/π rad) = 4,6º

γ = 90º + 4,46º = 94,6º

Existe una pequeña diferencia debida al uso de números decimales y a que se utilizan diferentes funciones trigonométricas.