Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 30

 

Un disco de 20 cm de diámetro está girando cuando se le aplica un freno de forma que se detiene en 4 s, habiendo dado una vuelta completa. Calcula:

a)  Velocidad inicial y aceleración de frenado.

b)  Aceleración de un punto de la periferia en el instante inicial y ángulo formado por velocidad y aceleración.

 

 

Solución:

Datos: D = 20 cm; t = 4 s → ω = 0 → φ = 1 v

MCUA ESPACIO, 17,7

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

a)  De la primera ecuación despejaremos la velocidad angular inicial:

ω0 = ω + a t

Cuando el disco se detiene ω = 0, por tanto

ω0 = a t → a = ω0/t

Ahora sustituiremos en la segunda ecuación:

φ = ω0 t – (1/2) (ω0/t) t2

φ = ω0 t – (1/2) ω0 t

φ = (1/2) ω0 t

ω0 = 2 φ/t

Velocidad inicial:

 ω0 = 2·1 v/4s = 2·2 π rad/4 s = π rad/s

Aceleración de frenado:

a = (π rad/s)/4 s = (π/4) rad/s2

b)  Aceleración tangencial:

at = a R

 

MCUA ESPACIO, 29,1

 

Sea γ el ángulo formado por la velocidad y la aceleración inicial, luego:

γ = 90º + θ

siendo cos θ = an/a.

Ecuaciones de la aceleración:

a2 = at2 + an2

Aceleración tangencial (at):

at = α R

        

Aceleración normal (an):

an = v02/R = (ω0 R)2/R = ω02 R

MCUA ESPACIO, 30, 1

θ = arc cos 0,997 = 0,077 rad (180º/θ rad) = 4,44º

γ = 90º + 4,44º = 94,44º

También se puede hacer de la siguiente forma:

tg θ = at/an

an = ω02 R

tg θ = at02 R → θ = arc tg (at02 R)

MCUA ESPACIO, 30, 2

θ = 8,11·10–2 rad (180º/π rad) = 4,6º

γ = 90º + 4,46º = 94,6º

Existe una pequeña diferencia debida al uso de números decimales y a que se utilizan diferentes funciones trigonométricas.

 

 


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