Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 30
Un disco de 20 cm de diámetro está girando cuando se le aplica un freno de forma que se detiene en 4 s, habiendo dado una vuelta completa. Calcula:
a) Velocidad inicial y aceleración de frenado.
b) Aceleración de un punto de la periferia en el instante inicial y ángulo formado por velocidad y aceleración.
Solución:
Datos: D = 20 cm; t = 4 s → ω = 0 → φ = 1 v
Ecuaciones del movimiento:
ω = ω0 – α t φ = ω0 t – (1/2) α t2
a) De la primera ecuación despejaremos la velocidad angular inicial:
ω0 = ω + a t
Cuando el disco se detiene ω = 0, por tanto
ω0 = a t → a = ω0/t
Ahora sustituiremos en la segunda ecuación:
φ = ω0 t – (1/2) (ω0/t) t2
φ = ω0 t – (1/2) ω0 t
φ = (1/2) ω0 t
ω0 = 2 φ/t
Velocidad inicial:
ω0 = 2·1 v/4s = 2·2 π rad/4 s = π rad/s
Aceleración de frenado:
a = (π rad/s)/4 s = (π/4) rad/s2
b) Aceleración tangencial:
at = a R
Sea γ el ángulo formado por la velocidad y la aceleración inicial, luego:
γ = 90º + θ
siendo cos θ = an/a.
Ecuaciones de la aceleración:
a2 = at2 + an2
Aceleración tangencial (at):
at = α R
Aceleración normal (an):
an = v02/R = (ω0 R)2/R = ω02 R
θ = arc cos 0,997 = 0,077 rad (180º/θ rad) = 4,44º
γ = 90º + 4,44º = 94,44º
También se puede hacer de la siguiente forma:
tg θ = at/an
an = ω02 R
tg θ = at/ω02 R → θ = arc tg (at/ω02 R)
θ = 8,11·10–2 rad (180º/π rad) = 4,6º
γ = 90º + 4,46º = 94,6º
Existe una pequeña diferencia debida al uso de números decimales y a que se utilizan diferentes funciones trigonométricas.