El Sapo Sabio

 

Un punto está girando con velocidad 30 r.p.m cuando se le aplica una deceleración de (π²/20) rad/s². Se pide:

a)  Ángulo formado por la velocidad y la aceleración en el instante inicial.

b)  Tiempo que tarda en dar la última vuelta.

 

 

Solución:

Datos: ω₀ = 30 rpm; α = (π²/20) rad/s²

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ – α t           φ = ω₀ t – (1/2) α t²

Relación de las magnitudes lineales y angulares;

x = φ R        v = ω R        a = α R

Antes de resolver los diferentes apartados de este problema pasaremos la acelaración inicial al sistema internacional.

ω₀ = 30 (rev/min)·(2π rad/rev)·(min/60 s) = π rad/s

a) 

Sea γ el ángulo formado por la velocidad y la aceleración inicial, luego:

γ = 90º + θ, siendo cos θ = a_n/a

Ecuaciones de la aceleración:

a² = a_t² + a_n²

Aceleración tangencial (a_t):

a_t = α R

Aceleración normal (a_n):

a_n = v₀²/R = (ω₀ R)²/R = ω₀² R

θ = arc cos 0,999 = 2,56º

γ = 90º + 2,56º = 92,56º

b)  El tiempo que tarda en dar la última vuelta es igual al tiempo que tarda en dar todas las vueltas, menos el tiempo que tarda en dar todas las vueltas menos una vuelta.

Tiempo que tarda en dar todas las vueltas y espacio angular recorrido:

Como en la última vuelta, ω = 0, se tiene:

0 = ω₀ – α t → t = ω₀/α

φ = ω₀ (ω₀/α) – (1/2) α (ω₀/α)² = (ω₀²/α) – (ω₀²/2α)

φ = ω₀²/2α

t = (π rad/s)/[(π²/20)·(rad/s²)] = (20/π) s = 6,4 s

φ = [π·(rad/s)]²/[2·(π²/20)·(rad/s²]

φ = [π²·(rad²/s²)]/[·(π²/10)·(rad/s²] = 10 rad

Tiempo que tarda en dar todas las vueltas menos la última vuelta (φ = 10 – 2π) rad:

φ = ω₀ t – (1/2) α t² → (1/2) α t² – ω₀ t + φ = 0

El primer resultado no tiene sentido, ya que supera el tiempo que se tarda en dar todas las vueltas (6,4 s). Por tanto la solución es t = 1,3 s.

Tiempo que tarda en dar la última vuelta: t’ = 6,4 s – 1,3 s = 5,1 s.