El Sapo Sabio

 

Un punto está recorriendo una circunferencia de 1 m de diámetro con velocidad de 300 r.p.m cuando se le aplica una aceleración de frenado de π rad/s². Calcula cuándo pasará por la posición diametralmente opuesta a la inicial por segunda vez y cuál será entonces su aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad.

Comprueba dimensionalmente el resultado.

 

 

Solución:

Datos: D = 1 m → R = 0,5 m; ω₀ = 300 rpm = 10π rad/s ; α = π rad/s²

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ – α t           φ = ω₀ t – (1/2) α t²

Cuando el punto se encuentre en la posición diametralmente opuesta a la inicial, φ = (π + 2 k π) rad.

φ = ω₀ t – (1/2) α t² → (1/2) α t² – ω₀ t + φ = 0

Para interpretar los tiempos, calculamos la correspondiente velocidad del móvil:

No puede ser que un cuerpo que gira en sentido contrario al de las agujas del reloj frenando, cambien su giro en sentido de las agujas del reloj. Un móvil frenado disminuye su velocidad hasta quedar parado, pero no invierte el sentido de su movimiento.

Esta solución es correcta, ya que el móvil gira en el mismo sentido que al empezar a frenar.

Dimensionalmente:

Ahora, hay que tener en cuenta que conforme aumenta k, el radicando (contenido de la raíz) va disminuyendo y llegará un momento en que será negativo y la raíz será imaginaria.
¿Qué significa esto? Pues que el móvil no pasará más veces por esta posición, girando en el sentido en que lo hacía inicialmente.

Veamos cuándo ocurre esto:

0,98 – 0,04k ≥ 0 → 0,04k ≤ 0,98 → k ≤ 0,98/0,04

k ≤ 24,5 → k ≤ 24

En la vuelta k = 1, se produce el último pasa por la posición indicada, en el instante:

Por tanto el punto pasará por la posición diametralmente opuesta a la inicial por segunda vez cuando t = 0,3 segundos.

cos θ = a_t/a

a² = a_t² + a_n²

Aceleración tangencial:

a_t = α R

Aceleración normal:

a_n = v²/R = (ω R)²/R = ω² R

Cálculo de la velocidad angular en la posición φ:

De las ecuaciones del movimiento se tiene que:

ω = ω₀ – α t → t = (ω₀ – ω)/α

φ = ω₀ [(ω₀ – ω)/α] – (1/2) α [(ω₀ – ω)/α]²

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[ω₀ – (ω₀ – ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(2ω₀ – ω₀ + ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(ω₀ + ω)/2]

φ = (ω₀ – ω)·(ω₀ + ω)/2α

φ = (ω₀² – ω²)/2α

2 φ α = ω₀² – ω²

ω² = ω₀² – 2 φ α

Dimensionalmente:

El radián es adimensional.

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ’ = 180º – 89,8º = 90,2º