El Sapo Sabio

 

Un disco de 40 cm de radio que gira con velocidad 30 r.p.m, se ve sometido a una aceleración de frenado de 0,5π rad/s². Para un punto de la periferia determina:

a)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad en el instante inicial.

b)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad, cuando el disco haya dado un cuarto de vuelta.

c)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad al cabo de 1 segundo.

 

 

Solución:

Datos: R = 0,40 m; ω₀ = 30 rpm = π rad/s; α = 0,5π rad/s²

a)    

a² = a_t² + a_n²

Aceleración tangencial:

a_t,0 = α R

Aceleración normal:

a_n,0 = v₀²/R = (ω₀ R)²/R = ω₀² R

Pero hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ' = 180º – 80,8º = 99,2º

b)  Dato: φ = (π/2) rad

Cálculo de las aceleraciones:

a² = a_t² + a_n²

a_t = α R

a_n = v²/R = (ω R)²/R = ω² R

Cálculo de la velocidad angular en la posición φ:

De las ecuaciones del movimiento se tiene que:

ω = ω₀ – α t → t = (ω₀ – ω)/α

φ = ω₀ [(ω₀ – ω)/α] – (1/2) α [(ω₀ – ω)/α]²

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[ω₀ – (ω₀ – ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(2ω₀ – ω₀ + ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(ω₀ + ω)/2]

φ = (ω₀ – ω)·(ω₀ + ω)/2α

φ = (ω₀² – ω²)/2α

2 φ α = ω₀² – ω²

ω² = ω₀² – 2 φ α

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ’ = 180º – 72,5º = 107,5º

c)  Dato: t = 1 s

Cálculo de las aceleraciones:

a² = a_t² + a_n²

a_t = α R

a_n = v²/R = (ω R)²/R = ω² R

Cálculo de la velocidad angular en el instante t:

De las ecuaciones del movimiento tenemos que:

ω = ω₀ – α t →  ω² = (ω₀ – α t)²

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ' = 180º – 57,3º = 122,7º