Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 17
Un disco de 40 cm de radio que gira con velocidad 30 r.p.m, se ve sometido a una aceleración de frenado de 0,5π rad/s2. Para un punto de la periferia determina:
a) La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad en el instante inicial.
b) La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad, cuando el disco haya dado un cuarto de vuelta.
c) La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad al cabo de 1 segundo.
Solución:
Datos: R = 0,40 m; ω0 = 30 rpm = π rad/s; α = 0,5π rad/s2
a)
a2 = at2 + an2
Aceleración tangencial:
at,0 = α R
Aceleración normal:
an,0 = v02/R = (ω0 R)2/R = ω02 R
Pero hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:
θ' = 180º – 80,8º = 99,2º
b) Dato: φ = (π/2) rad
Cálculo de las aceleraciones:
a2 = at2 + an2
at = α R
an = v2/R = (ω R)2/R = ω2 R
Cálculo de la velocidad angular en la posición φ:
De las ecuaciones del movimiento se tiene que:
ω = ω0 – α t → t = (ω0 – ω)/α
φ = ω0 [(ω0 – ω)/α] – (1/2) α [(ω0 – ω)/α]2
φ = [(ω0 – ω)/α]·[ω0 – (ω0 – ω)/2]
φ = [(ω0 – ω)/α]·[(2ω0 – ω0 + ω)/2]
φ = [(ω0 – ω)/α]·[(ω0 + ω)/2]
φ = (ω0 – ω)·(ω0 + ω)/2α
φ = (ω02 – ω2)/2α
2 φ α = ω02 – ω2
ω2 = ω02 – 2 φ α
Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:
θ’ = 180º – 72,5º = 107,5º
c) Dato: t = 1 s
Cálculo de las aceleraciones:
a2 = at2 + an2
at = α R
an = v2/R = (ω R)2/R = ω2 R
Cálculo de la velocidad angular en el instante t:
De las ecuaciones del movimiento tenemos que:
ω = ω0 – α t → ω2 = (ω0 – α t)2
Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:
θ' = 180º – 57,3º = 122,7º