Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 17

 

Un disco de 40 cm de radio que gira con velocidad 30 r.p.m, se ve sometido a una aceleración de frenado de 0,5π rad/s2. Para un punto de la periferia determina:

a)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad en el instante inicial.

b)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad, cuando el disco haya dado un cuarto de vuelta.

c)  La aceleración y el ángulo que ésta forma con la velocidad al cabo de 1 segundo.

 

 

Solución:

Datos: R = 0,40 m; ω0 = 30 rpm = π rad/s; α = 0,5π rad/s2

a)    

MCUA ESPACIO, 17,1

a2 = at2 + an2

MCUA ESPACIO, 17,2

Aceleración tangencial:

at,0 = α R

Aceleración normal:

an,0 = v02/R = (ω0 R)2/R = ω02 R

MCUA ESPACIO, 17,3

MCUA ESPACIO, 17,4

Pero hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ' = 180º – 80,8º = 99,2º

b)  Dato: φ = (π/2) rad

Cálculo de las aceleraciones:

MCUA ESPACIO, 17,5

a2 = at2 + an2

MCUA ESPACIO, 17,2

at = α R

an = v2/R = (ω R)2/R = ω2 R

MCUA ESPACIO, 17,6

Cálculo de la velocidad angular en la posición φ:

MCUA ESPACIO, 17,7

De las ecuaciones del movimiento se tiene que:

ω = ω0 – α t → t = (ω0 – ω)/α

φ = ω0 [(ω0 – ω)/α] – (1/2) α [(ω0 – ω)/α]2

φ = [(ω0 – ω)/α]·[ω0 – (ω0 – ω)/2]

φ = [(ω0 – ω)/α]·[(2ω0 – ω0 + ω)/2]

φ = [(ω0 – ω)/α]·[(ω0 + ω)/2]

φ = (ω0 – ω)·(ω0 + ω)/2α

φ = (ω02 – ω2)/2α

2 φ α = ω02 – ω2

ω2 = ω02 – 2 φ α

MCUA ESPACIO, 17,8

MCUA ESPACIO, 17,9

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ’ = 180º – 72,5º = 107,5º

c)  Dato: t = 1 s

Cálculo de las aceleraciones:

MCUA ESPACIO, 17,10

a2 = at2 + an2

MCUA ESPACIO, 17,2

at = α R

an = v2/R = (ω R)2/R = ω2 R

MCUA ESPACIO, 17,6

Cálculo de la velocidad angular en el instante t:

MCUA ESPACIO, 17,7

De las ecuaciones del movimiento tenemos que:

ω = ω0 – α t →  ω2 = (ω0 – α t)2

MCUA ESPACIO, 17,11

MCUA ESPACIO, 17,12

Hemos calculado el ángulo que forma la aceleración con la aceleración tangencial, cuya dirección es contraria a la velocidad, entonces el ángulo aceleración-velocidad será:

θ' = 180º – 57,3º = 122,7º

 

 

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