El Sapo Sabio

 

Un punto está recorriendo una circunferencia con velocidad de 300 r.p.m, cuando se le aplica una aceleración de frenado de π rad/s². Calcula:

a)  Tiempo que tardará en detenerse y dónde lo hará.

b)  Velocidad angular cuando haya dado 10 vueltas.

c)  Cuándo pasará por la posición diametralmente opuesta a la inicial.

 

 

Solución:

Datos: ω₀ = 300 rpm = 10 π rad/s; α = π rad/s²

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ – α t           φ = ω₀ t – (1/2) α t²

a)  Cuando se detenga ω = 0, por tanto:

0 = ω₀ – α t → α t = ω₀ → t = ω₀/α

φ = ω₀ (ω₀/α) – (1/2) α (ω₀/α)²

φ = (ω₀²/α) – (ω₀²/2α)

φ = ω₀²/2α

Tiempo que tarda en detenerse:

t = (10π rad/s)/(π rad/s²) = 10 s

φ = (10π rad/s)²/(2π rad/s²) = 50π rad = 25 vueltas + 0º

El punto se detiene en la posición de salida tras haber pasado 25 veces por ella.

b)  Dato: φ = 10 v·(2π rad/v) = 20π rad

ω = ω₀ – α t → t = (ω₀ – ω)/α

φ = ω₀ [(ω₀ – ω)/α] – (1/2) α [(ω₀ – ω)/α]²

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[ω₀ – (ω₀ – ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(2ω₀ – ω₀ + ω)/2]

φ = [(ω₀ – ω)/α]·[(ω₀ + ω)/2]

φ = (ω₀ – ω)·(ω₀ + ω)/2α

φ = (ω₀² – ω²)/2α

2 φ α = ω₀² – ω²

ω² = ω₀² – 2 φ α

Se toma la velocidad positiva porque el móvil gira en sentido contrario al de las agujas del reloj, aunque lo hace cada vez más despacio.

c)  Dato: φ = (π + 2 k π) rad

 

φ = ω₀ t – (1/2) α t² → (1/2) α t² – ω₀ t + φ = 0

Para interpretar los tiempos, calculamos la correspondiente velocidad del móvil:

No puede ser que un cuerpo que gira en sentido contrario al de las agujas del reloj frenando, cambien su giro en sentido de las agujas del reloj. Un móvil frenado disminuye su velocidad hasta quedar parado, pero no invierte el sentido de su movimiento.

Esta solución es correcta, ya que el móvil gira en el mismo sentido que al empezar a frenar.

Ahora, hay que tener en cuenta que conforme aumenta k, el radicando (contenido de la raíz) va disminuyendo y llegará un momento en que será negativo y la raíz será imaginaria.
¿Qué significa esto? Pues que el móvil no pasará más veces por esta posición, girando en el sentido en que lo hacía inicialmente.

Veamos cuándo ocurre esto:

En la vuelta k = 24, se produce el último pasa por la posición indicada, en el instante:

t = (0,10; 0,30; 0,51;….;8,59) s