Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 16

 

Un punto está recorriendo una circunferencia con velocidad de 300 r.p.m, cuando se le aplica una aceleración de frenado de π rad/s2. Calcula:

a)  Tiempo que tardará en detenerse y dónde lo hará.

b)  Velocidad angular cuando haya dado 10 vueltas.

c)  Cuándo pasará por la posición diametralmente opuesta a la inicial.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 300 rpm = 10 π rad/s; α = π rad/s2

MCUA ESPACIO 09

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 – α t           φ = ω0 t – (1/2) α t2

a)  Cuando se detenga ω = 0, por tanto:

0 = ω0 – α t → α t = ω0 → t = ω0

φ = ω00/α) – (1/2) α (ω0/α)2

φ = (ω02/α) – (ω02/2α)

φ = ω02/2α

Tiempo que tarda en detenerse:

t = (10π rad/s)/(π rad/s2) = 10 s

φ = (10π rad/s)2/(2π rad/s2) = 50π rad = 25 vueltas + 0º

El punto se detiene en la posición de salida tras haber pasado 25 veces por ella.

b)  Dato: φ = 10 v·(2π rad/v) = 20π rad

MCUA ESAPACIO 16,1

ω = ω0 – α t → t = (ω0 – ω)/α

φ = ω0 [(ω0 – ω)/α] – (1/2) α [(ω0 – ω)/α]2

φ = [(ω0 – ω)/α]·[ω0 – (ω0 – ω)/2]

φ = [(ω0 – ω)/α]·[(2ω0 – ω0 + ω)/2]

φ = [(ω0 – ω)/α]·[(ω0 + ω)/2]

φ = (ω0 – ω)·(ω0 + ω)/2α

φ = (ω02 – ω2)/2α

2 φ α = ω02 – ω2

ω2 = ω02 – 2 φ α

MCUA ESAPACIO 16,2

Se toma la velocidad positiva porque el móvil gira en sentido contrario al de las agujas del reloj, aunque lo hace cada vez más despacio.

c)  Dato: φ = (π + 2 k π) rad

MCUA ESPACIO 13,2

 

φ = ω0 t – (1/2) α t2 → (1/2) α t2 – ω0 t + φ = 0

MCUA ESAPACIO 16,3

Para interpretar los tiempos, calculamos la correspondiente velocidad del móvil:

MCUA ESPACIO, 16, 4 (II)

No puede ser que un cuerpo que gira en sentido contrario al de las agujas del reloj frenando, cambien su giro en sentido de las agujas del reloj. Un móvil frenado disminuye su velocidad hasta quedar parado, pero no invierte el sentido de su movimiento.

MCUA ESAPACIO 16

Esta solución es correcta, ya que el móvil gira en el mismo sentido que al empezar a frenar.

MCUA ESAPACIO 16,6

Ahora, hay que tener en cuenta que conforme aumenta k, el radicando (contenido de la raíz) va disminuyendo y llegará un momento en que será negativo y la raíz será imaginaria.
¿Qué significa esto? Pues que el móvil no pasará más veces por esta posición, girando en el sentido en que lo hacía inicialmente.

Veamos cuándo ocurre esto:

MCUA ESAPACIO 16,7

En la vuelta k = 24, se produce el último pasa por la posición indicada, en el instante:

MCUA ESAPACIO 16,8

t = (0,10; 0,30; 0,51;….;8,59) s

 

 


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