Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 15

 

A un punto que está girando con velocidad 2 rad/s, se le aplica una aceleración de 0,5 rad/s2. Calcula:

a)  Posición al cabo de 20 s.

b)  Velocidad cuando pase por la posición inicial por tercera vez.

c)  Cuándo estará en la posición diametralmente opuesta a la de partida.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 2 rad/s; α = 0,5 rad/s2

MCUA ESPACIO 12

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω0 + α t           φ = ω0 t + (1/2) α t2

a)  Dato = 20 s

φ = (2 rad/s)·20 s + (1/2)·(0,5 rad/s2)·(20 s)2

φ = 40 rad + 100 rad = 140 rad

φ = 140 rad·(180º/π rad) = 8021º = 22,28 vueltas

φ = 22 vueltas + 101º

El punto se encuentra en la posición 101º, después de haber pasado 22 veces por el origen.

b)  El tercer paso por la posición inicial ocurre en la vuelta k = 3, es decir:

φ = (0 + 2·3π) rad = 6π rad

MCUA ESPACIO 15,1

ω = ω0 + α t → t = (ω – ω0)/α

φ = ω0 [(ω – ω0)/α] + (1/2) α [(ω – ω0)/α]2

φ = [(ω – ω0)/α]·[ω0 + (ω – ω0)/2]

φ = [(ω – ω0)/α]·[(2ω0 + ω – ω0)/2]

φ = [(ω – ω0)/α]·[(ω0 + ω)/2]

φ = (ω – ω0)·(ω0 + ω)/2α

φ = (ω2 – ω02)/2α

2 φ α = ω2 – ω02

ω2 = ω02 + 2 φ α

MCUA ESPACIO 15,2

c)  Dato = (π + 2 k π) rad

MCUA ESPACIO 15,3

φ = ω0 t + (1/2) α t2 → (1/2) α t2 + ω0 t – φ = 0

MCUA ESPACIO 15,4

La raíz negativa no sirve porque daría un tiempo negativo, luego:

MCUA ESPACIO 15,5

Para que el tiempo tenga una solución real positiva se ha de cumplir que:

MCUA ESPACIO 15,6

t = (1,34; 3,33; 4,88;….) s

 

 

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