Espacio, velocidad, aceleración y tiempo 15
A un punto que está girando con velocidad 2 rad/s, se le aplica una aceleración de 0,5 rad/s2. Calcula:
a) Posición al cabo de 20 s.
b) Velocidad cuando pase por la posición inicial por tercera vez.
c) Cuándo estará en la posición diametralmente opuesta a la de partida.
Solución:
Datos: ω0 = 2 rad/s; α = 0,5 rad/s2
Ecuaciones del movimiento:
ω = ω0 + α t φ = ω0 t + (1/2) α t2
a) Dato = 20 s
φ = (2 rad/s)·20 s + (1/2)·(0,5 rad/s2)·(20 s)2
φ = 40 rad + 100 rad = 140 rad
φ = 140 rad·(180º/π rad) = 8021º = 22,28 vueltas
φ = 22 vueltas + 101º
El punto se encuentra en la posición 101º, después de haber pasado 22 veces por el origen.
b) El tercer paso por la posición inicial ocurre en la vuelta k = 3, es decir:
φ = (0 + 2·3π) rad = 6π rad
ω = ω0 + α t → t = (ω – ω0)/α
φ = ω0 [(ω – ω0)/α] + (1/2) α [(ω – ω0)/α]2
φ = [(ω – ω0)/α]·[ω0 + (ω – ω0)/2]
φ = [(ω – ω0)/α]·[(2ω0 + ω – ω0)/2]
φ = [(ω – ω0)/α]·[(ω0 + ω)/2]
φ = (ω – ω0)·(ω0 + ω)/2α
φ = (ω2 – ω02)/2α
2 φ α = ω2 – ω02
ω2 = ω02 + 2 φ α
c) Dato = (π + 2 k π) rad
φ = ω0 t + (1/2) α t2 → (1/2) α t2 + ω0 t – φ = 0
La raíz negativa no sirve porque daría un tiempo negativo, luego:
Para que el tiempo tenga una solución real positiva se ha de cumplir que:
t = (1,34; 3,33; 4,88;….) s