El Sapo Sabio

 

A un punto que está girando con velocidad 2 rad/s, se le aplica una aceleración de 0,5 rad/s². Calcula:

a)  Posición al cabo de 20 s.

b)  Velocidad cuando pase por la posición inicial por tercera vez.

c)  Cuándo estará en la posición diametralmente opuesta a la de partida.

 

 

Solución:

Datos: ω₀ = 2 rad/s; α = 0,5 rad/s²

Ecuaciones del movimiento:

ω = ω₀ + α t           φ = ω₀ t + (1/2) α t²

a)  Dato = 20 s

φ = (2 rad/s)·20 s + (1/2)·(0,5 rad/s²)·(20 s)²

φ = 40 rad + 100 rad = 140 rad

φ = 140 rad·(180º/π rad) = 8021º = 22,28 vueltas

φ = 22 vueltas + 101º

El punto se encuentra en la posición 101º, después de haber pasado 22 veces por el origen.

b)  El tercer paso por la posición inicial ocurre en la vuelta k = 3, es decir:

φ = (0 + 2·3π) rad = 6π rad

ω = ω₀ + α t → t = (ω – ω₀)/α

φ = ω₀ [(ω – ω₀)/α] + (1/2) α [(ω – ω₀)/α]²

φ = [(ω – ω₀)/α]·[ω₀ + (ω – ω₀)/2]

φ = [(ω – ω₀)/α]·[(2ω₀ + ω – ω₀)/2]

φ = [(ω – ω₀)/α]·[(ω₀ + ω)/2]

φ = (ω – ω₀)·(ω₀ + ω)/2α

φ = (ω² – ω₀²)/2α

2 φ α = ω² – ω₀²

ω² = ω₀² + 2 φ α

c)  Dato = (π + 2 k π) rad

φ = ω₀ t + (1/2) α t² → (1/2) α t² + ω₀ t – φ = 0

La raíz negativa no sirve porque daría un tiempo negativo, luego:

Para que el tiempo tenga una solución real positiva se ha de cumplir que:

t = (1,34; 3,33; 4,88;….) s