Espacio, velocidad y tiempo 42
Partiendo del reposo, un móvil se desplaza, siguiendo una circunferencia de 100 m de radio, con un movimiento uniformemente acelerado hasta que alcanza una velocidad de 25 m/s en 5 segundos. A partir de este momento el movimiento es uniforme. Halla:
a) La aceleración tangencial mientras está acelerando.
b) La aceleración normal, la aceleración y la distancia recorrida cuando han transcurrido 100 s desde que empezó el movimiento.
c) La velocidad angular media en la primera parte del recorrido y la velocidad angular al cabo de 100 s de iniciado el movimiento.
d) El tiempo que tarda en dar 1000 vueltas el móvil.
Solución:
Datos: v0 = 0; R = 100 m; v = 25 m/s; t1 = 5 s.
a) Expresión de la velocidad:
v = v0 + a t1
a t1 = v – v0 → a = (v – v0)/t1
a = [(25 m/s) – 0]/5 s = 5 m/s2
b) Aceleración normal:
aN = v2/R = (25 m/s)2/100 m = 6,25 m/s2
Aceleración:
A los 100 s de iniciarse el movimiento el movimiento es uniforme, luego: at = 0, por tanto:
Para hallar la distancia recorrida debemos tener en cuenta que durante los 5 primeros segundos el movimiento es uniformemente acelerado y los restantes 95 s, es uniforme, luego:
x = v0 t1 + (1/2) a t12 + v t
x = 0 + (1/2) 5 (m/s2) (5 s)2 + 25 (m/s) 95 s =
= 62,5 m + 2375 m = 2437,5 m
c) Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
x = φ R v = ω R a = α R
Velocidad angular media en los primeros 5 s:
ωm = vm/R
vm = (v1 – v0)/(t1 – t0)
vm = [(25 m/s) – 0)/(5 s – 0)] = 5 m/s
ωm = (5 m/s)/100 m = 0,05 rad/s
Velocidad angular a los 100 s:
ω = v/R = (25 m/s)/100 m = 0,25 rad/s
d) Dato: φ = 1000 vueltas = 2000π rad
Veamos el espacio angular recorrido en los 5 primeros segundos:
φ1 = x1/R = 62,5 m/100 m = 0,625 rad
Espacio angular recorrido en los 95 s restantes:
φ = ω t → t = φ/ω
t = (2000 p rad – 0,625 rad)/(0,25 rad/s) = 25130 s
El tiempo total sera:
ttotal = 25130 s + 5 s = 25135 s