El Sapo Sabio

 

Partiendo del reposo, un móvil se desplaza, siguiendo una circunferencia de 100 m de radio,  con un movimiento uniformemente acelerado hasta que alcanza una velocidad de 25 m/s en 5 segundos. A partir de este momento el movimiento es uniforme. Halla:

a)  La aceleración tangencial mientras está acelerando.

b)  La aceleración normal, la aceleración y la distancia recorrida cuando han transcurrido 100 s desde que empezó el movimiento.

c)  La velocidad angular media en la primera parte del recorrido y la velocidad angular al cabo de 100 s de iniciado el movimiento.

d)  El tiempo que tarda en dar 1000 vueltas el móvil.

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 0; R = 100 m; v = 25 m/s; t₁ = 5 s.

a)  Expresión de la velocidad:

v = v₀ + a t₁

a t₁ = v – v₀ → a = (v – v₀)/t₁

a = [(25 m/s) – 0]/5 s = 5 m/s²

b)  Aceleración normal:

a_N = v²/R = (25 m/s)²/100 m = 6,25 m/s²

Aceleración:

A los 100 s de iniciarse el movimiento el movimiento es uniforme, luego: a_t = 0, por tanto:

Para hallar la distancia recorrida debemos tener en cuenta que durante los 5 primeros segundos el movimiento es uniformemente acelerado y los restantes 95 s, es uniforme, luego:

x = v₀ t₁ + (1/2) a t₁² + v t

x = 0 + (1/2) 5 (m/s²) (5 s)² + 25 (m/s) 95 s =

= 62,5 m + 2375 m = 2437,5 m

c)  Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

x = φ R         v = ω R        a = α R

Velocidad angular media en los primeros 5 s:

ω_m = v_m/R

v_m = (v₁ – v₀)/(t₁ – t₀)

v_m = [(25 m/s) – 0)/(5 s – 0)] = 5 m/s

ω_m = (5 m/s)/100 m = 0,05 rad/s

Velocidad angular a los 100 s:

ω = v/R = (25 m/s)/100 m = 0,25 rad/s

d)  Dato: φ = 1000 vueltas = 2000π rad

Veamos el espacio angular recorrido en los 5 primeros segundos:

φ₁ = x₁/R = 62,5 m/100 m = 0,625 rad

Espacio angular recorrido en los 95 s restantes:

φ = ω t → t = φ/ω

t = (2000 p rad – 0,625 rad)/(0,25 rad/s) = 25130 s

El tiempo total sera:

t_total = 25130 s + 5 s = 25135 s