Espacio, velocidad y tiempo 38

 

Un punto recorre una circunferencia girando con período 12 s, en el sentido de las agujas del reloj. Determina:

a)  Posición al cabo de 54 s, indicando las vueltas dadas.

b)  Cuándo estará en la posición 180º.

c)  Cuándo estará en la posición 135º por cuarta vez.

Resolver el problema dos veces, tomando como posición inicial 0º o 90º.

 

 

Solución:

Dato: T = 12 s

Ecuación del movimiento:

φ = φ0 – ω t

Velocidad angular:

ω = 2π/T = 2π/12s = π/6 (rad/s)

a)  Dato: t = 54 s

MCU ESPACIO 38,1

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ0 = 0, por tanto:

φ = –ω t

φ = –(π/6)·(rad/s)·54 s = –9π rad = (–8π – π) rad = 4 vueltas – 180º

El punto está en la posición –180º, tras haber pasado cuatro veces por el origen.

Desplazamiento angular:

∆φ = |φ – φ0| = |–9π rad – 0| = 9π rad·(vuelta/2π rad) = 4,5 vueltas

El móvil ha dado cuatro vueltas y media.

Es interesante observar que no es lo mismo las vueltas dadas (4,5), que los pasos por el origen (4).

MCU ESPACIO 38,2

Si inicialmente el punto se encuentra en 90º y girando en sentido de las agujas del reloj, entonces φ0 = (3π/2) rad, luego:

φ = –φ0 – ω t

φ = –(3π/2) rad – π/6 (rad/s)·54 s =  –(3π/2) rd – 9π rad =

= –[(20+1)/2]·π rad = 5 vueltas – 90º

El punto está en la posición –90º, tras haber pasado cinco veces por el origen.

Desplazamiento angular:

∆φ = |φ – φ0| = |–(21/2)π rad – (–3/2)π rad| = 9π rad·(vuelta/2π rad) = 4,5 vueltas

El móvil ha dado cuatro vueltas y media.

Es interesante observar que no es lo mismo el número de vueltas dadas (4,5), que los pasos por el origen (5) y tampoco son lo mismo la posición (–21π/2) y el desplazamiento (9π).

b)  Dato: φ = –(π + 2kπ) rad

MCU ESPACIO 38,3

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ0 = 0, por tanto:

φ = –ω t → t = –φ/ω

MCU ESPACIO 38,4

MCU ESPACIO 38,5

Como el tiempo no puede ser negativo y k es un número entero:

MCU ESPACIO 38,6       

t = (6, 18, 30,…) s

MCU ESPACIO 38,7

Si inicialmente el punto se encuentra en 90º y girando en sentido de las agujas del reloj, entonces φ0 = (3π/2) rad, luego:

φ = –φ0 – ω t → ω t = –φ – φ0→ t = –(φ + φ0)/ω

MCU ESPACIO 38,8

Como el tiempo no puede ser negativo y k es un número entero:

MCU ESPACIO 38,9

t = (9, 21,33,…) s

c)  Dato: φ = –[225º·(π rad/180º) + 2kπ rad] = [(5/4)π + 2kπ]

MCU ESPACIO 38,10

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ0 = 0 y el cuarto paso por la posición 135º, se produce en la vuelta k = 3, es decir:

φ = –[(5/4)π + 2·3π] rad = –(29/4)π rad

MCU ESPACIO 38,11

φ = –ω t → t = –φ/ω

t = –(29/4)π rad/(π rad/6 s) = (87/2) s = 43,5 s

MCU ESPACIO 38,12

Si inicialmente el punto se encuentra en 90º, entonces φ0 = (3π/2) rad y el cuarto paso por la posición 135º, se produce en la vuelta k  =4, porque el punto gira en sentido de las agujas del reloj e  inicialmente está por delante de la posición 135º,  por tanto:

φ = –[(5/4)π + 2·4π] rad = –(37/4)π rad

MCU ESPACIO 38,13

φ = –φ0 – ω t → ω t = –φ – φ0→ t = –(φ + φ0)/ω

MCU ESPACIO 38,14

 

 

 


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