El Sapo Sabio

 

Un punto recorre una circunferencia girando con velocidad constante de 15 r.p.m en sentido contrario al de las agujas del reloj. Determina:

a)  Posición al cabo de 26 s indicando las vueltas dadas.

b)  Cuándo pasará por la posición 90º.

c)  Cuándo pasará por la posición 135º por tercera vez.

Resolver el problema dos veces, tomando como posición inicial 0º o 180º.

 

 

Solución:

Dato: ω = 15 rev/min = (π/2) (rd/s)

Ecuación del movimiento circular uniforme:

φ = φ₀ + ω t

a)  Dato: t = 26 s

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ₀ = 0, por tanto:

φ = ω t

φ = (π rad/2 s)·26 s = 13π rad = (12π + π) rad = 6 vueltas + 180º

El punto está en la posición 180º, tras haber pasado seis veces por el origen.

Desplazamiento angular:

∆φ = |φ – φ₀| = |13π rad – 0| = 13π rad·(vuelta/2π rad) = 6,5 vueltas

El móvil ha dado seis vueltas y media.

Es interesante observar que no es lo mismo las vueltas dadas (6,5), que los pasos por el origen (6).

Si inicialmente el punto se encuentra en 180º, entonces φ₀ = π rad, luego:

φ = φ₀ + ω t

φ = π rad + (π rad/2 s)·26 s = π rad + 13π rad = 14π rad = 7 vueltas + 0º

Desplazamiento angular:

∆φ = |φ – φ₀| = |14π rad – π rad| = 13π rd·(vuelta/2π rad) = 6,5 vueltas

El móvil ha dado seis vueltas y media.

Es interesante observar que no es lo mismo el número de vueltas dadas (6,5), que los pasos por el origen (7) y tampoco son lo mismo la posición (14π) y el desplazamiento (13π).

b)  Dato: φ = [(π/2) + 2kπ] rad

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ₀ = 0, por tanto:

Como el tiempo no puede ser negativo y k es un número entero, tenemos que:

t = (1, 5, 9,…..) s

Si inicialmente el punto se encuentra en 180º, entonces φ₀ = π rad, luego:

φ = φ₀ + ω t

ω t = φ – φ₀ → t = (φ – φ₀)/ω

Como el tiempo no puede ser negativo y k  es un número entero:

t = (3, 7, 11,….) s

c)  Dato: φ = 135º·(π rad/180º) + 2kπ rad = [(3π/4) + 2kπ] rad

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ₀ = 0 y el tercer paso por la posición 135º, se produce en la vuelta k = 2, es decir:

φ = [(3π/4) + 2·2π] rad = (19π/4) rad

φ = ω t → t = φ/ω = (19 π rad/4)/(π rad/2 s) = (19/2) s = 9,5 s

Si inicialmente el punto se encuentra en 180º, entonces φ₀ = π rad y el tercer paso por la posición 135º, se produce en la vuelta k = 3, porque el punto gira en sentido contrario al de las agujas del reloj e  inicialmente está por detrás la posición 135º,  por tanto:

φ = [(3π/4) + 2·3π] rd = (27π/4) rd