Espacio, velocidad y tiempo 37

 

Un punto recorre una circunferencia girando con velocidad constante de 15 r.p.m en sentido contrario al de las agujas del reloj. Determina:

a)  Posición al cabo de 26 s indicando las vueltas dadas.

b)  Cuándo pasará por la posición 90º.

c)  Cuándo pasará por la posición 135º por tercera vez.

Resolver el problema dos veces, tomando como posición inicial 0º o 180º.

 

 

Solución:

Dato: ω = 15 rev/min = (π/2) (rd/s)

Ecuación del movimiento circular uniforme:

φ = φ0 + ω t

a)  Dato: t = 26 s

MCU ESPACIO 37,1

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ0 = 0, por tanto:

φ = ω t

φ = (π rad/2 s)·26 s = 13π rad = (12π + π) rad = 6 vueltas + 180º

El punto está en la posición 180º, tras haber pasado seis veces por el origen.

Desplazamiento angular:

∆φ = |φ – φ0| = |13π rad – 0| = 13π rad·(vuelta/2π rad) = 6,5 vueltas

El móvil ha dado seis vueltas y media.

Es interesante observar que no es lo mismo las vueltas dadas (6,5), que los pasos por el origen (6).

MCU ESPACIO 37,2

Si inicialmente el punto se encuentra en 180º, entonces φ0 = π rad, luego:

φ = φ0 + ω t

φ = π rad + (π rad/2 s)·26 s = π rad + 13π rad = 14π rad = 7 vueltas + 0º

Desplazamiento angular:

∆φ = |φ – φ0| = |14π rad – π rad| = 13π rd·(vuelta/2π rad) = 6,5 vueltas

El móvil ha dado seis vueltas y media.

Es interesante observar que no es lo mismo el número de vueltas dadas (6,5), que los pasos por el origen (7) y tampoco son lo mismo la posición (14π) y el desplazamiento (13π).

b)  Dato: φ = [(π/2) + 2kπ] rad

MCU ESPACIO 37,3

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ0 = 0, por tanto:

MCU ESPACIO 37,4

MCU ESPACIO 37,5

Como el tiempo no puede ser negativo y k es un número entero, tenemos que:

MCU ESPACIO 37,6

t = (1, 5, 9,…..) s

MCU ESPACIO 37,7

Si inicialmente el punto se encuentra en 180º, entonces φ0 = π rad, luego:

φ = φ0 + ω t

ω t = φ – φ0 → t = (φ – φ0)/ω

MCU ESPACIO 37,8

Como el tiempo no puede ser negativo y k  es un número entero:

MCU ESPACIO 37,9

t = (3, 7, 11,….) s

c)  Dato: φ = 135º·(π rad/180º) + 2kπ rad = [(3π/4) + 2kπ] rad

MCU ESPACIO 37,10

Si inicialmente el punto se encuentra en 0º, entonces φ0 = 0 y el tercer paso por la posición 135º, se produce en la vuelta k = 2, es decir:

φ = [(3π/4) + 2·2π] rad = (19π/4) rad

MCU ESPACIO 37,11

φ = ω t → t = φ/ω = (19 π rad/4)/(π rad/2 s) = (19/2) s = 9,5 s

MCU ESPACIO 37,12

Si inicialmente el punto se encuentra en 180º, entonces φ0 = π rad y el tercer paso por la posición 135º, se produce en la vuelta k = 3, porque el punto gira en sentido contrario al de las agujas del reloj e  inicialmente está por detrás la posición 135º,  por tanto:

φ = [(3π/4) + 2·3π] rd = (27π/4) rd

MCU ESPACIO 37,13

MCU ESPACIO 37,14

 

 


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