El Sapo Sabio

 

Partiendo de A, un móvil recorre la circunferencia con velocidad 5 r.p.m en el sentido de las agujas del reloj. Calcula:

a)  Posición al cabo de 24 s.

b)  Cuándo pasará por el punto B.

c)  Cuándo pasará por el origen por cuarta vez.

 

 

Solución:

Dato: ω = 5 rpm

 

Ecuación del movimiento:

φ = –φ₀ – ω t

 

Si inicialmente el punto se encuentra en 90º, entonces φ₀ = (3π/2) rad

a)  Dato: t = 24 s

φ = –(3π/2) rad – 5 (rev/min)·(2π rad/rev)·(min/60 s)·24 s

φ = –(3π/2) rad – 4π rad = –[4π + (3/2)·π]

En 24 segundos el móvil ha recorrido, a partir del origen, 2 vueltas completas más 270º, por tanto se encontrará, otra vez, en el punto A.

El signo negativo indica que el desplazamiento ha sido en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

b)  El móvil pasa por el punto B cuando φ = –(π + 2π k)

φ = –φ₀ – ω t → ω t = –φ₀ – φ → t  = – (φ₀ + φ)/ω

 

Como el tiempo no puede ser negativo y k es un número entero, tenemos que:

 

Por tanto:

k = 1 → t₁ = 9 s

k = 2 → t₂ = 21 s

k = 3 → t₃ = 33 s

t = (9, 21, 33,…) s

El móvil pasa por el punto B cada 12 s.

c)  El móvil pasa por el origen cuando φ = –(0 + 2π k) rad, siendo k = 0, 1, 2,…, y como parte de A, la cuarta vez que el móvil pasa por el origen k = 3, por tanto:

 

Por tanto:

k = 1 → t₁ = 3 s

k = 2 → t₂ = 15 s

k = 3 → t₃ = 27 s

k = 4 → t₄ = 39 s

El móvil pasa por cuarta vez por el origen a los 39 segundos de iniciarse el movimiento.