El Sapo Sabio

 

Escribe la ecuación del movimiento del minutero del reloj partiendo de la posición de las once y calcula su posición al cabo de 40 minutos.

 

 

Solución:

Datos: T = 1 h = 3600 s; t = 40 min

Ecuación del movimiento circular uniforme:

φ = φ₀ + ω t

Si se considera el origen del movimiento a las 12 horas, el móvil tiene una posición inicial que habrá recorrido durante 5 minutos (de las once a las doce) y cuyo valor será:

φ₀ = ω t = (2π/T)·t

φ₀ = (2π rad/3600 s)·5 min·(60 s/min) = (π/6) rad

Velocidad angular (ω):

ω = 2π rad/3600 s = (π/1800)·(rad/s)

Ecuación del movimiento:

φ = (π/6) + (π/1800)·t

Como la aguja se encuentra en las once, a los treinta minutos se encontrará en las cinco y diez minutos después en las siete.

O también:

φ = (π/6) rad + (π/1800)·(rad/s)·40 min·(60 s/min)

φ = (π/6) rad + (2400π/1800) rad

φ = – (π/6) rad + (4π/3) rad

φ = [(–π + 8π)/6] rad

 φ = (7π/6) rad·(60 min/2π rad) = 35 min → las siete

Otra posible forma de resolver este problema es la siguiente:

Ecuación del movimiento circular uniforme:

φ = φ₀ + ω t

Velocidad angular:

ω = 2π/T = 2π rad/3600 s = π/1800 (rad/s)

Teniendo en cuenta que cada 5 minutos del reloj son 30º, si inicialmente el minutero se encuentra en 120º (90 + 30), es decir, 2π/3 y girando en sentido de las agujas del reloj, entonces φ₀ = [2π – (2π/3)] rad = (4π/3) rad.

Ecuación del movimiento:

φ = –(4π/3) – (π/1800) t

Si t = 40 min = 2400 s su posición será:

φ = –(4π/3) rad – [(π/1800) rad·2400 s] =  –(4π/3) rad – (4π/3) rad

φ = –(8π/3) rad = –2π – (2π/3) rad

El minutero ha recorrido una vuelta completa y 120º a partir de las tres que es donde se ha considerado el origen del movimiento, luego se encontrará a las siete (90º + 30º)