El Sapo Sabio

 

Un avión teledirigido despega del suelo moviéndose con velocidad 100 m/s formando 10º sobre la horizontal. En ese momento, un cañón situado a una distancia D, por delante del avión, dispara un proyectil a 400 m/s formando 30º sobre la horizontal. Determina el valor de D para que el proyectil haga blanco.

 

 

Solución:

Datos: v’ = 100 m/s; β = 10º; x’₀ = D; v₀ = 400 m/s; α = 30º; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento del proyectil:

v_x  = v₀ cos α          v_y = v₀ sen α – g t

x  = v₀ t cos α                  y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

Ecuaciones del movimiento del avión:

v'_x  = –v’₀ cos β                v’_y = v₀ sen β

x’  = x’₀ – v’₀ t cos β                   y’ = v’₀ t sen β

En las ecuaciones del avión no aparece g, porque el avión no es un grave.

Si se produce el encuentro las posiciones son iguales, es decir: x = x’ e y = y’.

v₀ t sen α – (1/2) g t² = v’₀ t sen β

(1/2) g t² – v₀ t sen α + v’₀ t sen β = 0 

t·[(1/2) g t – v₀ sen α + v’₀ sen β] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al instante del disparo y el despegue del avión.

Segunda solución:

(1/2) g t – v₀ sen α + v’₀ sen β = 0

(1/2) g t =  v₀ sen α – v’₀ sen β

t = 2·(v₀ sen α – v’₀ sen β)/g

v₀ t cos α = x’₀ – v’₀ t cos β

v₀ [2·(v₀ sen α – v’₀ sen β)/g] cos α = x’₀ – v’₀ [2·(v₀ sen α – v’₀ sen β)/g] cos β    

x’₀ = v₀ [2·(v₀ sen α – v’₀ sen β)/g] cos α + v’₀ [2·(v₀ sen α – v’₀ sen β)/g] cos β

x’₀ = (v₀ cos α + v’₀ cos β)·[2·(v₀ sen α – v’₀ sen β)/g]

= 1,66·10⁴ m = 16,6 km

El cañón debe colocarse a 16,6 kilómetros por delante del avión.