Tiro parabólico 28
Una escopeta de resorte lanza una pelota con ángulo de 45º alcanzando 9,6 metros.
a) Determina la máxima altura a la que llegó la pelota.
b) ¿Para qué ángulo de tiro el alcance será igual a la altura máxima?
c) Determina el ángulo de tiro para que el alcance sea de 6 m con la misma velocidad inicial.
Solución:
Datos: α = 45º; x1 = 9,6 m; g = 9,8 m/s2
Ecuaciones del movimiento:
vx = v0 cos α vy = v0 sen α – g t
x = v0 t cos α y = v0 t sen α – (1/2) g t2
a) La altura máxima se alcanza cuando vy = 0.
0 = v0 sen α – g t → g t = v0 sen α
t = v0 sen α/g
y = v0 (v0 sen α/g) sen α – (1/2) g (v0 sen α/g)2
y = (v02 sen2 α/g) – (v02 sen2 α/2g)
y = (v0 sen α)2/2g
Ahora se debe hallar la velocidad inicial teniendo en cuenta que en el momento de la salida y en el de la llegada, y = 0.
0 = v0 t sen α – (1/2) g t2 → t [v0 sen α – (1/2) g t] = 0
Primera solución:
t = 0
Corresponde al momento de la salida.
Segunda solución:
v0 sen α – (1/2) g t = 0
(1/2) g t = v0 sen α
t = 2v0 sen α/g
Sustituyendo en la ecuación del alcance:
x1 = v0 (2v0 sen α/g) cos α = 2v02 sen α·cos α/g
v02 = x1 g/2sen α·cos α
y1 = (9,6 m/4)·tg 45º = 2,4 m
b) Para averiguar el ángulo de tiro con el que se consigue que el alcance sea igual a la altura máxima, se hace: x1 = y1.
x1 = (x1/4) tg α → tg α = 4
α = arc tg 4 = 76º
Se puede observar que el resultado obtenido no depende de la velocidad inicial.
c) Datos: x2 = 6 m, y2 = 0 y según el enunciado del problema x1 = 9,6 m, y1 = 0, α = 45º
Ecuación de la trayectoria:
x = v0 t cos α → t = x/v0 cos α
y = v0 (x/v0 cos α) sen α – (1/2) g (x/v0 cos α)2
y = x tg α – (g/2v02 cos2 α)·x2
Aplicando a ambos casos:
0 = x1 tg α – (g/2v02 cos2 α)·x12
x12 g/2v02 cos2 α = x1 tg α → v02 = x12 g/2x1 cos2 α·tg α
0 = x2 tg α’ – (g/2v02 cos2 α’)·x22
x22 g/2v02 cos2 α’ = x2 tg α’ → v02 = x22 g/2x2 cos2 α’·tg α’
Como las velocidades son iguales tenemos que:
x12 g/2x1 cos2 α·tg α = x22 g/2x2 cos2 α’·tg α’
x12/x1·2cos α·sen α = x22/x2·2cos α’·sen α’
x12/x1·sen 2α = x22/x2·sen 2α’
(Hay que recordar que sen 2α = 2 sen α cos α)
x12·x2 sen 2α’ = x22· x1·sen 2α
sen 2α’ = (x22·x1/x12·x2)·sen 2α
sen 2α’ = (x2/x1)·sen 2α
sen 2α’ = [(6 m)/(9,6 m)]·sen (2·45º) = 0,625