El Sapo Sabio

 

Una escopeta de resorte lanza una pelota con ángulo de 45º alcanzando 9,6 metros.

a)  Determina la máxima altura a la que llegó la pelota.

b)  ¿Para qué ángulo de tiro el alcance será igual a la altura máxima?

c)  Determina el ángulo de tiro para que el alcance sea de 6 m con la misma velocidad inicial.

 

 

Solución:

Datos: α = 45º; x₁ = 9,6 m; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α           v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α          y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

a)  La altura máxima se alcanza cuando v_y = 0.

0 = v₀ sen α – g t → g t = v₀ sen α

t = v₀ sen α/g

y = v₀ (v₀ sen α/g) sen α – (1/2) g (v₀ sen α/g)²

y = (v₀² sen² α/g) – (v₀² sen² α/2g)

y = (v₀ sen α)²/2g

Ahora se debe hallar la velocidad inicial teniendo en cuenta que en el momento de la salida y en el de la llegada, y = 0.

0 = v₀ t sen α – (1/2) g t² → t [v₀ sen α – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t  = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

v₀ sen α – (1/2) g t = 0

(1/2) g t = v₀ sen α

t = 2v₀ sen α/g

Sustituyendo en la ecuación del alcance:

x₁ = v₀ (2v₀ sen α/g) cos α = 2v₀² sen α·cos α/g

v₀² = x₁ g/2sen α·cos α

y₁ = (9,6 m/4)·tg 45º = 2,4 m

b)  Para averiguar el ángulo de tiro con el que se consigue que el alcance sea igual a la altura máxima, se hace: x₁ = y₁.

x₁ = (x₁/4) tg α → tg α = 4

α = arc tg 4 = 76º

Se puede observar que el resultado obtenido no depende de la velocidad inicial.

c)  Datos: x₂ = 6 m, y₂ = 0 y según el enunciado del problema x₁ = 9,6 m, y₁ = 0, α = 45º

Ecuación de la trayectoria:

x = v₀ t cos α → t = x/v₀ cos α

         y = v₀ (x/v₀ cos α) sen α – (1/2) g (x/v₀ cos α)²

y = x tg α – (g/2v₀² cos² α)·x²

Aplicando a ambos casos:

0 = x₁ tg α – (g/2v₀² cos² α)·x₁²

x₁² g/2v₀² cos² α = x₁ tg α → v₀² = x₁² g/2x₁ cos² α·tg α

0 = x₂ tg α’ – (g/2v₀² cos² α’)·x₂²

x₂² g/2v₀² cos² α’ = x₂ tg α’ → v₀² = x₂² g/2x₂ cos² α’·tg α’

Como las velocidades son iguales tenemos que:

x₁² g/2x₁ cos² α·tg α = x₂² g/2x₂ cos² α’·tg α’

x₁²/x₁·2cos α·sen α = x₂²/x₂·2cos α’·sen α’

x₁²/x₁·sen 2α = x₂²/x₂·sen 2α’

(Hay que recordar que sen 2α = 2 sen α cos α)

x₁²·x₂ sen 2α’ = x₂²· x₁·sen 2α

sen 2α’ = (x₂²·x₁/x₁²·x₂)·sen 2α

sen 2α’ = (x₂/x₁)·sen 2α

sen 2α’ = [(6 m)/(9,6 m)]·sen (2·45º) = 0,625