Tiro parabólico 28

 

Una escopeta de resorte lanza una pelota con ángulo de 45º alcanzando 9,6 metros.

a)  Determina la máxima altura a la que llegó la pelota.

b)  ¿Para qué ángulo de tiro el alcance será igual a la altura máxima?

c)  Determina el ángulo de tiro para que el alcance sea de 6 m con la misma velocidad inicial.

 

 

Solución:

Datos: α = 45º; x1 = 9,6 m; g = 9,8 m/s2

TIRO PARABOLICO 28, 1

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α           vy = v0 sen α – g t

x = v0 t cos α          y = v0 t sen α – (1/2) g t2

a)  La altura máxima se alcanza cuando vy = 0.

0 = v0 sen α – g t → g t = v0 sen α

t = v0 sen α/g

y = v0 (v0 sen α/g) sen α – (1/2) g (v0 sen α/g)2

y = (v02 sen2 α/g) – (v02 sen2 α/2g)

y = (v0 sen α)2/2g

Ahora se debe hallar la velocidad inicial teniendo en cuenta que en el momento de la salida y en el de la llegada, y = 0.

0 = v0 t sen α – (1/2) g t2 → t [v0 sen α – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t  = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

v0 sen α – (1/2) g t = 0

(1/2) g t = v0 sen α

t = 2v0 sen α/g

Sustituyendo en la ecuación del alcance:

x1 = v0 (2v0 sen α/g) cos α = 2v02 sen α·cos α/g

v02 = x1 g/2sen α·cos α

TIRO PARABOLICO 28, 2

y1 = (9,6 m/4)·tg 45º = 2,4 m

b)  Para averiguar el ángulo de tiro con el que se consigue que el alcance sea igual a la altura máxima, se hace: x1 = y1.

x1 = (x1/4) tg α → tg α = 4

α = arc tg 4 = 76º

Se puede observar que el resultado obtenido no depende de la velocidad inicial.

c)  Datos: x2 = 6 m, y2 = 0 y según el enunciado del problema x1 = 9,6 m, y1 = 0, α = 45º

Ecuación de la trayectoria:

x = v0 t cos α → t = x/v0 cos α

         y = v0 (x/v0 cos α) sen α – (1/2) g (x/v0 cos α)2

y = x tg α – (g/2v02 cos2 α)·x2

Aplicando a ambos casos:

0 = x1 tg α – (g/2v02 cos2 α)·x12

x12 g/2v02 cos2 α = x1 tg α → v02 = x12 g/2x1 cos2 α·tg α

0 = x2 tg α’ – (g/2v02 cos2 α’)·x22

x22 g/2v02 cos2 α’ = x2 tg α’ → v02 = x22 g/2x2 cos2 α’·tg α’

Como las velocidades son iguales tenemos que:

x12 g/2x1 cos2 α·tg α = x22 g/2x2 cos2 α’·tg α’

x12/x1·2cos α·sen α = x22/x2·2cos α’·sen α’

x12/x1·sen 2α = x22/x2·sen 2α’

(Hay que recordar que sen 2α = 2 sen α cos α)

x12·x2 sen 2α’ = x22· x1·sen 2α

sen 2α’ = (x22·x1/x12·x2)·sen 2α

sen 2α’ = (x2/x1)·sen 2α

sen 2α’ = [(6 m)/(9,6 m)]·sen (2·45º) = 0,625

TIRO PARABOLICO 28, 3

 

 

 

 


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