El Sapo Sabio

 

Desde el punto O se dispara un proyectil formando ángulo de 45º sobre la horizontal. Determina razonadamente la zona donde hará impacto cuando la velocidad inicial sea:

a)  25 m/s

b)  35 m/s

c)  50 m/s

d)  ¿Cuál debería ser la velocidad inicial para que el impacto se produzca justamente en B?

 

 

Solución:

Datos: α = 45º; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α           v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α          y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

a)  Suponiendo que el proyectil choca entre los puntos O y A (y = 0), veamos cuál es el alcance cuando la velocidad inicial es: v₀ = 25 m/s.

0 = v₀ t sen α – (1/2) g t²

t [v₀ sen α – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

v₀ sen α – (1/2) g t = 0

(1/2) g t = v₀ sen α

t = 2v₀ sen α/g

x = v₀ (2v₀ sen α/g) cos α

x = 2v₀² sen α· cos α/g

x = [2·(25 m/s)²·sen 45º·cos 45º]/(9,8 m/s²) = 63,8 m < 90 m

El proyectil, como se había supuesto, choca entre los puntos O y A, a 63,8 m a la derecha de O.

b)  Haciendo la misma suposición que en el apartado a), pero con v₀ = 35 m/s:

x = [2·(35 m/s)²·sen 45º·cos 45º]/(9,8 m/s²) = 125 m > 90 m

No puede chocar entre O y A pues antes lo haría entre A y B.

Ahora utilizaremos la ecuación de la trayectoria, para saber la altura a la que se encuentre el proyectil cuando x = 90 m:

x = v₀ t cos α

t = x/v₀ cos α

y = v₀ (x/v₀ cos α) sen α – (1/2) g (x/v₀ cos α)²

y = x tg α – (x² g/2v₀² cos² α)

y = x tg α – [(x² g/2v₀²)·(1/cos² α)]

Teniendo en cuenta que:

sen² α + cos² α = 1

(sen² α/cos² α) + (cos² α/cos² α) = 1/cos² α

tg² α + 1 = 1/cos² α

obtenemos:

y = x tg α – [(x² g/2v₀²)·(tg² α+1)]

y = 90 m·tg 45º – {[(9,8 m/s²)·(90 m)²/2·(35 m/s)²]·(tg² 45º + 1)} =

= 90 m – 32,4 [(m/s²)·m²/(m²/s²)]·2 = 25,2 m < 50 m

El proyectil choca entre los puntos A y B, a 25,2 metros por encima de A.

c)  Repetiremos el proceso hecho en el apartado b) pero con v₀ = 50 m/s.

x = [2·(50 m/s)²·sen 45º·cos 45º]/(9,8 m/s²) = 255 m > 90 m

No puede chocar entre O y A pues antes lo haría entre A y B.

Era previsible que ocurriera esto ya que la velocidad inicial es mayor que en b).

y = 90 m·tg 45º – {[(9,8 m/s²)·(90 m)²/2·(50 m/s)²]·(tg² 45º + 1)} =

= 90 m – 15,9 [(m/s²)·m²/(m²/s²)]·2 = 58,2 m > 50 m

El proyectil no choca entre los puntos A y B. Por tanto, debemos averiguar el alcance del proyectil cuando su altura es de 58,2 metros.

(1/2) g t² – v₀ t sen α + y = 0

Sustituyendo en la ecuación del alcance:

El proyectil choca entre los puntos B y C a 187 metros a la derecha de O.

d) 

En el punto B, x₁ = 90 m e y₁ = 50 m.

Para resolver este apartado utilizaremos la ecuación de la trayectoria obtenida en el apartado b), ya que en ella y depende de x y no del tiempo cuyo valor ignoramos.

y₁ = x₁ tg α – [(x₁² g/2v₀²)·(1/cos² α)]

x₁² g/2v₀²·cos² α = x₁ tg α – y₁

v₀² = x₁² g/[2cos² α·( x₁ tg α – y₁)]