Tiro parabólico 26

 

TIRO PARABOLICO 26,1

Desde el punto O se dispara un proyectil formando ángulo de 45º sobre la horizontal. Determina razonadamente la zona donde hará impacto cuando la velocidad inicial sea:

a)  25 m/s

b)  35 m/s

c)  50 m/s

d)  ¿Cuál debería ser la velocidad inicial para que el impacto se produzca justamente en B?

 

 

Solución:

Datos: α = 45º; g = 9,8 m/s2

TIRO PARABOLICO 26,2

Ecuaciones del movimiento:

vx = v0 cos α           vy = v0 sen α – g t

x = v0 t cos α          y = v0 t sen α – (1/2) g t2

a)  Suponiendo que el proyectil choca entre los puntos O y A (y = 0), veamos cuál es el alcance cuando la velocidad inicial es: v0 = 25 m/s.

0 = v0 t sen α – (1/2) g t2

t [v0 sen α – (1/2) g t] = 0

Primera solución:

t = 0

Corresponde al momento de la salida.

Segunda solución:

v0 sen α – (1/2) g t = 0

(1/2) g t = v0 sen α

t = 2v0 sen α/g

x = v0 (2v0 sen α/g) cos α

x = 2v02 sen α· cos α/g

x = [2·(25 m/s)2·sen 45º·cos 45º]/(9,8 m/s2) = 63,8 m < 90 m

El proyectil, como se había supuesto, choca entre los puntos O y A, a 63,8 m a la derecha de O.

b)  Haciendo la misma suposición que en el apartado a), pero con v0 = 35 m/s:

x = [2·(35 m/s)2·sen 45º·cos 45º]/(9,8 m/s2) = 125 m > 90 m

No puede chocar entre O y A pues antes lo haría entre A y B.

TIRO PARABOLICO 26,3

Ahora utilizaremos la ecuación de la trayectoria, para saber la altura a la que se encuentre el proyectil cuando x = 90 m:

x = v0 t cos α

t = x/v0 cos α

y = v0 (x/v0 cos α) sen α – (1/2) g (x/v0 cos α)2

y = x tg α – (x2 g/2v02 cos2 α)

y = x tg α – [(x2 g/2v02)·(1/cos2 α)]

Teniendo en cuenta que:

sen2 α + cos2 α = 1

(sen2 α/cos2 α) + (cos2 α/cos2 α) = 1/cos2 α

tg2 α + 1 = 1/cos2 α

obtenemos:

y = x tg α – [(x2 g/2v02)·(tg2 α+1)]

y = 90 m·tg 45º – {[(9,8 m/s2)·(90 m)2/2·(35 m/s)2]·(tg2 45º + 1)} =

= 90 m – 32,4 [(m/s2)·m2/(m2/s2)]·2 = 25,2 m < 50 m

TIRO PARABOLICO 26,4

El proyectil choca entre los puntos A y B, a 25,2 metros por encima de A.

c)  Repetiremos el proceso hecho en el apartado b) pero con v0 = 50 m/s.

x = [2·(50 m/s)2·sen 45º·cos 45º]/(9,8 m/s2) = 255 m > 90 m

No puede chocar entre O y A pues antes lo haría entre A y B.

TIRO PARABOLICO 26,5

Era previsible que ocurriera esto ya que la velocidad inicial es mayor que en b).

y = 90 m·tg 45º – {[(9,8 m/s2)·(90 m)2/2·(50 m/s)2]·(tg2 45º + 1)} =

= 90 m – 15,9 [(m/s2)·m2/(m2/s2)]·2 = 58,2 m > 50 m

TIRO PARABOLICO 26,6

El proyectil no choca entre los puntos A y B. Por tanto, debemos averiguar el alcance del proyectil cuando su altura es de 58,2 metros.

(1/2) g t2 – v0 t sen α + y = 0

TIRO PARABOLICO 26,7

Sustituyendo en la ecuación del alcance:

TIRO PARABOLICO 26,8

El proyectil choca entre los puntos B y C a 187 metros a la derecha de O.

TIRO PARABOLICO 26,9

d) 

TIRO PARABOLICO 26,10

En el punto B, x1 = 90 m e y1 = 50 m.

Para resolver este apartado utilizaremos la ecuación de la trayectoria obtenida en el apartado b), ya que en ella y depende de x y no del tiempo cuyo valor ignoramos.

y1 = x1 tg α – [(x12 g/2v02)·(1/cos2 α)]

x12 g/2v02·cos2 α = x1 tg α – y1

v02 = x12 g/[2cos2 α·( x1 tg α – y1)]

TIRO PARABOLICO 26,11

 

 

 

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