El Sapo Sabio

 

Un aro está suspendido verticalmente con su centro a 4 metros del suelo. Desde el suelo, a 3 metros del pie de la vertical del aro, se quiere lanzar una pelota de forma que atraviese el aro pasando horizontalmente por su centro. Determina la velocidad y ángulo de lanzamiento.

 

 

Solución:

Datos: y₁ = 4 m; x₁ = 3 m; g = 9,8 m/s²

Ecuaciones del movimiento:

v_x = v₀ cos α           v_y = v₀ sen α – g t

x = v₀ t cos α          y = v₀ t sen α – (1/2) g t²

Ángulo de lanzamiento:

tg α = y₁/x₁

Para que la pelota pase por el aro horizontalmente, su velocidad vertical en ese punto debe ser cero, es decir, v_y1 = 0, por tanto:

0 = v₀ sen α – g t → g t = v₀ sen α

t = v₀ sen α/g

x₁ = v₀ (v₀ sen α/g)·cos α

x₁ = v₀² sen α·cos α/g

y₁ = v₀ (v₀ sen α/g)·sen α – (1/2) g (v₀ sen α/g)²

y₁ = (v₀² sen² α/g) – (v₀² sen² α/2g)

y₁ = v₀² sen² α/2g

y₁/x₁ = (v₀² sen² α/2g)/( v₀² sen α·cos α/g)

y₁/x₁ = sen α/2 cos α

tg α = 2y₁/x₁

         Velocidad:

y₁ = v₀² sen² α/2g → v₀² = 2y₁ g/sen² α